Преломление света. Физический смысл показателя преломления
Изучая оптику в курсе физики 8 класса мы познакомились с явлением преломления света. Тогда свет рассматривался нами в виде лучей и пучков, а мы опирались на геометрическое представление всех световых явлений (рисунок 1).
Но после изучения понятия электромагнитного поля мы узнали, что свет является частным случаем электромагнитных волн, которые распространяются с определенной скоростью в различных средах. Так, в вакууме эта скорость составляет $3 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$ (рисунок 2).
Теперь наши знания позволяют по-новому взглянуть уже известное явление преломления. На данном уроке мы вспомним основные понятия и определения; узнаем, как показатель преломления связан со скоростью распространения световой волны и рассмотрим, почему свет изменяет свое направление при переходе из одной среды в другую.
Преломление света
Когда луч света падает на границу раздела двух прозрачных сред под каким-то углом, то часть световой энергии возвращается в первую среду, создавая отраженный луч. Другая часть световой энергии проходит внутрь во вторую среду, изменяя свое направление.
Преломление света — это изменение направления распространения света при его переходе из одной среды в другую.
Допустим луч света переходит из воздуха в воду (рисунок 3). В точку падения луча $O$ на границе двух сред мы всегда опускаем перпендикуляр (нормаль) $CD$. Луч $AO$, идущий от источника света в воздухе, мы называем падающим лучом. Этот луч и перпендикуляр $CD$ образуют угол падения $\alpha$.
Луч $OB$, который продолжает движение в воде, мы называем преломленным лучом. А угол, образованный этим преломленным лучом и перпендикуляром $CD$, является углом преломления $\gamma$.
Какова же связь между углом падения и углом преломления? Чтобы ответить на это вопрос нам нужно вспомнить закон преломления света.
Закон преломления света
Первые упоминания о преломлении света в воде и стекле встречаются в труде Клавдия Птолемея «Оптика», вышедшем в свет во II веке нашей эры. Но только в 1621 году голландский математик и физик Виллеброрд Снеллиус, благодаря своим экспериментам, сформулировал закон преломления света, состоящий из двух частей. При этом результаты экспериментов и сам закон не были своевременно опубликованы. После смерти ученого эти данные были обнаружены в архивах Рене Декартом. Он использовал их при изучении формирования одиночных и двойных радуг в 1637 году.
Закон преломления света (закон Снеллиуса):
падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр, проведенный к границе раздела двух сред в точке падения луча, лежат в одной плоскости;
отношение синуса угла падения $\alpha$ к синусу угла преломления $\gamma$ есть величина постоянная для данных двух сред:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n_{21}$,
где $n_{21}$ — относительный показатель преломления второй среды относительно первой.
Таким образом закон преломления света устанавливает связь между углом падения и углом преломления (рисунок 4). Это позволяет нам предсказать, как изменится направление света при переходе из одной среды в другую.
Чтобы убедиться в справедливости закона преломления, можно направлять луч света под разными углами на границу раздела двух сред и измерять углы падения и преломления. Если мы найдем отношения синусов этих углов, то увидим, что они действительно остаются постоянной величиной (рисунок 5).
Относительный показатель преломления $n_{21}$ связан с абсолютными показателями $n_1$ и $n_2$ следующим отношением.
$n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$
В этой формуле кроется расшифровка нижнего индекса $21$ относительного показателя преломления. Он читается как «два один».
Если световой луч переходит в какую-то среду из вакуума, то отношение синусов будет определять абсолютный показатель преломления (или просто показатель преломления) $n$:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n$ (рисунок 6).
Абсолютный показатель преломления в вакууме принят за единицу.
Более подробно мы рассмотрим определения и смысл показателей преломления позже в этом уроке.
Причина преломления света
После открытия закона преломления света некоторыми учеными была выдвинута гипотеза о том, что явление преломления связано с изменением скорости распространения света при переходе из одной среды в другую.
Эту гипотезу позже подтвердили теоретическими доказательствами. Сделали это независимо друг от друга два человека: французский математик Пьер Ферма в 1662 году и голландский физик Христиан Гюйгенс в 1690 году. В своих работах они шли разными путями, но пришли к одному и тому же результату, доказав утверждение, приведенное ниже.
Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной для данных двух сред и равно отношению скоростей света в этих средах:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$.
Причина преломления света — это разные значения скорости распространения света в разных средах.
Показатель преломления
Взаимосвязь величин в уравнении $\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$ позволяет нам сформулировать определения относительного и абсолютного показателей преломления.
Относительный показатель преломления
Относительный показатель преломления второй среды относительно первой — это физическая величина, равная отношению скоростей света в этих средах:
$n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$.
Таким образом, относительный показатель преломления $n_{21}$ показывает, во сколько раз изменяется скорость света при его переходе из одной среды в другую. Это и есть физический смысл относительного показателя преломления.
Если луч переходит из среды, в которой свет распространяется с большей скоростью, в среду, где эта скорость меньше, то он будет прижиматься к перпендикуляру (рисунок 7). То есть угол преломления будет меньше, чем угол падения: $\gamma < \alpha$. Например, так будет происходить при переходе луча света из воздуха в воду или из воды в стекло.
Если же скорость света в первой среде меньше скорости света во второй среде, то угол преломления будет больше угла преломления: $\gamma > \alpha$ (рисунок 8).
Абсолютный показатель преломления
Рассмотрим ситуацию, когда луч света переходит из вакуума в какую-то среду (рисунок 9). Тогда скорость распространения света в первой среде — это и есть скорость света в вакууме: $\upsilon_1 = c$. Скорость света во второй среде мы можем обозначить как $\upsilon$. Так мы получаем уравнение, являющееся определением абсолютного показателя преломления.
Абсолютный показатель преломления среды — это физическая величина, равная отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде:
$n = \frac{c}{\upsilon}$.
Физический смысл абсолютного показателя преломления $n$ заключается в том, что эта физическая величина показывает, во сколько раз изменяется скорость света при его переходе из вакуума в другую среду.
Значение абсолютного показателя преломления $n$ любого вещества всегда больше единицы (таблица 1).
| Вещество | Абсолютный показатель преломления $n$ |
|---|---|
| Кремний | $4.01$ |
| Алмаз | $2.42$ |
| Топаз | $1.63$ |
| Изумруд | $1.59$ |
| Сахар | $1.56$ |
| Кварц | $1.54$ |
| Органическое стекло | $1.51$ |
| Спирт | $1.36$ |
| Вода | $1.33$ |
| Лед | $1.31$ |
| Воздух | $1.0002926$ |
В основном абсолютный показатель преломления определяется свойствами среды (вещества). Также он немного меняется при изменении длины световой волны (рисунок 10). То есть свет разного цвета преломляется по-разному.
Как видно из графика, изменения совсем небольшие, поэтому в таблицах указываются усредненные значения. Этого достаточно для решения большинства практических задач, особенно в школьной физике.
У воздуха показатель преломления близок к единице. По этой причине при решении задач его принято принимать за единицу.
Итак, $n_{вещества} > 1$. Отсюда следует, что скорость света в любом веществе меньше скорости света в вакууме (таблица 2). Это обусловлено взаимодействием световой волны с атомами и молекулами вещества.
| Среда | Скорость света, $\frac{км}{с}$ |
|---|---|
| Вакуум | $300 \space 000$ |
| Воздух | $299 \space 704$ |
| Лед | $228 \space 782$ |
| Вода | $225 \space 341$ |
| Стекло | $200 \space 000$ |
| Сахар | $192 \space 300$ |
| Рубин | $170 \space 386$ |
| Алмаз | $123 \space 845$ |
Скорость света в среде и абсолютный показатель преломления определяются свойствами этой среды.
Оптическая плотность среды
Из уравнения, полученного Ферма и Гюйгенсом ($\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$) следует, что если угол преломления $\gamma$ меньше угла падения $\alpha$, то световые волны данной частоты во второй среде распространяются медленнее, чем в первой. То есть: $\upsilon_2 < \upsilon_1$. Мы говорим, что вторая среда оптически более плотная, чем первая (рисунок 11).
Оптическая плотность — это величина, которая характеризует различные среды в зависимости от значения скорости распространения света в них.
- При переходе света из оптически менее плотной среды в оптически более плотную угол преломления будет меньше угла падения: $\gamma < \alpha$.
- При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную угол преломления будет больше угла падения: $\gamma > \alpha$.
Обратите внимание, что оптическая плотность — это не то же самое, что плотность вещества. Эта величина характеризует, насколько среда замедляет свет, проходящий через нее.
Об оптической плотности среды можно судить по числовым значениям показателей преломления. Например, показатель преломления воды примерно равен $1.33$, а кремния — около $4$. Значит, кремний является более оптически плотной средой, чем вода. Другими словами, из двух сред оптически более плотной считается та, у которой показатель преломления больше (или та, в которой скорость света меньше).
Чем больше оптическая плотность среды, тем сильнее взаимодействие света и молекул этой среды, тем меньше скорость света и тем больше показатель преломления.
Оптические плотности двух сред могут отличаться друг от друга достаточно существенно. В таком случае возможны ситуации, подобные изображенной на рисунке 12.
Объяснение явления преломления на основании волновой природы света
Теперь мы можем объяснить, почему на границе двух сред с изменением скорости изменяется и направление распространения световой волны.
Пусть на границу раздела двух сред под углом $\alpha$ падает плоская световая волна с фронтом $AB$. Она будет переходить из воздуха в воду (рисунок 13). Скорость распространения световой волны в воздухе мы обозначим $\upsilon_1$. Вектор этой скорости всегда перпендикулярен фронту волну и совпадает с направлением ее распространения.
Так как угол падения $\alpha$ отличен от нуля, то разные точки фронта волны достигнут границы раздела сред в разное время. Из рисунка 13 видно, что первой до границы доходит точка $A$.
Через некоторый промежуток времени $\Delta t$ точка $B$ фронта волны тоже достигнет границы раздела сред. Она окажется в положении точки $B_1$. При этом ее перемещение в воздухе происходит с прежней скоростью $\upsilon_1$.
В этот же промежуток времени $\Delta t$ точка $A$ уже будет двигаться в воде со скоростью $\upsilon_2$. Эта скорость меньше, чем $\upsilon_1$. Поэтому точка $A$ пройдет в воде меньшее расстояние, чем точка $B$ проходит в это время в воздухе. Она достигнет положения точки $A_1$.
При этом фронт волны $A_1 B_1$ в воде окажется повернутым на некоторый угол по отношению к фронту $AB$ в воздухе. Так как вектор скорости всегда должен быть перпендикулярен фронту волны, то он тоже поворачивается. Он приближается к прямой $OO_1$ — перпендикуляру к границе двух сред.
Здесь угол падения $\alpha$ образован перпендикуляром $OO_1$ и вектором скорости $\vec \upsilon_1$. Угол преломления $\gamma$ образован перпендикуляром $OO_1$ и вектором скорости $\vec \upsilon_2$. Из рисунка 13 видно, что угол $\gamma$ оказывается меньше угла $\alpha$.
Изменение длины волны
На рисунке 14 также показано, как изменяется длина волна при переходе в другую среду. Если переход происходит в оптически более плотную среду, то длина волны уменьшается: $\lambda_2 < \lambda_1$.
Это связано с известной нам формулой длины волны: $\lambda = \frac{\upsilon}{\nu}$. Дело в том, что частота $\nu$ не зависит от плотности среды. Она не изменяется при переходе света из одной среды в другую. Значит, при неизменной частоте $\nu$ уменьшение скорости распространения волны $\upsilon$ сопровождается пропорциональным уменьшением длины волны $\lambda$.
Доказательство закона преломления
Такое рассмотрение перехода света из одной среды в другую позволяет нам доказать закон преломления.
Мы сказали, что за время $\Delta t$ точка $B$ переходит в точку $B_1$. Другими словами, за это время она проходит путь, равный $BB_1$ (рисунок 15):
$\Delta t = \frac{BB_1}{\upsilon_1}$.
Выразим отсюда расстояние $BB_1$:
$BB_1 = \upsilon_1 \Delta t$.
Теперь используем знания геометрии. Угол падения $\alpha$ будет равен углу $BAB_1$. Выразим синус этого угла:
$\sin {BAB_1} = \sin \alpha = \frac{BB_1}{AB_1}$.
Отсюда тоже выражаем расстояние $BB_1$:
$BB_1 = AB_1 \sin \alpha$.
Объединяем полученные выражения для $BB_1$:
$BB_1 = \upsilon_1 \Delta t = AB_1 \sin \alpha$.
За то же время $\Delta t$ точка $A$ проходит расстояние, равное $AA_1$, но с другой скоростью:
$\Delta t = \frac{AA_1}{\upsilon_2}$.
Из рисунка 13 угол преломления $\gamma$ равен углу $AB_1A_1$. Выразим синус этого угла:
$\sin {AB_1A_1} = \sin \gamma = \frac{AA_1}{AB_1}$.
Из двух последний уравнений выражаем $AA_1$:
$AA_1 = \upsilon_2 \Delta t = AB_1 \sin {AB_1A_1}$.
Теперь возьмем два равенства ($\upsilon_1 \Delta t = AB_1 \sin \alpha$ и $\upsilon_2 \Delta t = AB_1 \sin \gamma$) и почленно разделим их друг на друга:
$\frac{\upsilon_1 \Delta t}{\upsilon_2 \Delta t} = \frac{AB_1 \sin \alpha}{AB_1 \sin \gamma} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$.
Мы получили закон преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной для данных двух сред и равно отношению скоростей света в двух данных средах.
Полное внутреннее отражение
При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную можно наблюдать интересный эффект. Пусть источник света находится в воде. Например, дайвер светит фонариком $S$, от которого расходятся световые лучи во все стороны (рисунок 16).
Луч $SO_1$ падает на поверхность воды под совсем небольшим углом. Так оптическая плотность воздуха меньше оптической плотности воды, угол преломления будет больше угла падения: $\gamma_1 > \alpha_1$. Он частично преломляется — в воздухе идет луч $OA_1$. Также он частично отражается обратно в воду — луч $O_1B_1$.
Теперь посмотрим на следующий луч $SO_2$. Он падает на границу раздела под углом $\alpha_2 > \alpha_1$. В точке $O_2$ он также разделяется на преломленный и отраженный лучи. Угол преломления стал больше: $\gamma_2 > \gamma_1$.
По мере увеличения угла падения увеличивается и угол преломления. В какой-то момент все более и более тусклый преломленный луч совсем исчезнет. Это произойдет в момент, когда угол преломления станет равен $90 \degree$. В этой ситуации вся энергия падающего луча $SO_3$ перешла в энергию отраженного луча $O_3B_3$.
Очевидно, что при дальнейшем увеличении угла падения преломленный луч будет отсутствовать. Описанное явление называется полным внутренним отражением — более плотная оптическая среда при определенных углах не выпускает из себя лучи (они все отражаются внутрь нее). Угол падения, при котором наступает это явление, называется предельным углом полного внутреннего отражения или критическим углом $\alpha_{кр}$.
Расчет предельного угла полного внутреннего отражения
Используя закон преломления мы можем рассчитать этот угол:
$\frac{\sin \alpha_{кр}}{\sin \gamma} = n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$.
Показатель преломления воздуха мы принимаем за единицу: $n_2 = 1$. Из таблицы берем показатель преломления для воды: $n_1 = 1.33$. Угол преломления $\gamma$ при критическом угле $\alpha_{кр}$ равен $90 \degree$.
Тогда мы можем записать:
$\frac{\sin \alpha_{кр}}{\sin 90 \degree} = \frac{1}{1.33}$.
Выражаем синус критического угла:
$\alpha_{кр} \approx \arcsin0.75 \approx 49 \degree$.
Это явление могут наблюдать те, кто увлекается подводным плаванием.
Если ныряльщик, находясь под водой, посмотрит на ее поверхность под углом, большим $49 \degree$, то вместо того, чтобы увидеть воздух или небо, увидит отражение дна и себя самого (словно поверхность воды стала как зеркало).
Волоконная оптика
Явление полного внутреннего отражения, тесно связанное с законом преломления света, нашло свое применение в волоконных оптических системах.
Волоконно-оптический кабель представляет собой очень тонкую стеклянную или пластиковую нить (трубку), по которой передается свет. Такая трубка называется волноводом (световодом). Она заключена в оптическую оболочку, изготовленную из материала с показателем преломления, меньшим, чем у волновода (рисунок 17).
Когда луч свет входит в такую трубку под определенным углом, он многократно отражается от ее внутренних стенок и выходит с противоположной стороны (рисунок 18).
Так произойдет и в случае, если трубка будет иметь изогнутую форму (рисунок 19).
Получается, что такая трубка является проводником световой волны. Из-за полного внутреннего отражения свет как бы «заперт» внутри нее. Преломления не происходит. Значит, вся энергия передается отраженным лучам. Так свет проходит по оптическому волокну на большие расстояния с минимальными потерями энергии.
Волноводы часто применяются в медицине. Например, для эндоскопии, когда врачи могут «заглянуть» внутрь тела пациента без хирургического вмешательства.
Но более широкое применение волноводы имеют в области передачи информации. Несущая частота при передаче сигнала световой волной в миллион раз больше частоты радиосигнала. Это говорит нам о том, что и количество информации, которое мы можем передать посредством света тоже в миллион раз больше.
Поэтому волоконная оптика стала незаменимой для быстрой и качественной передачи компьютерных сигналов. Современные оптоволоконные кабели представляют собой пучки очень тонких стеклянных или пластиковых волокон. Толщина этих волокон сравнима с толщиной человеческого волоса. Внутри каждого такого волокна идут световые сигналы. Такие кабели прокладывают как и в городском пространстве, так и за его пределами. Имея длины в тысячи километров, оптоволоконные кабели проложены по дну океанов между странами и континентами. По ним ежедневно передается большая часть мирового интернет трафика.
Благодаря оптоволокну интернет работает быстро, стабильно и может передавать большие объемы цифровых данных почти без задержек. А в основе всего этого лежит такое простое явление, как преломление света.
Упражнения
Больше упражнений и количественных задач можно посмотреть в уроках Преломление света и Решение задач на преломление света.
Упражнение № 1
Какие из трех величин — длина волны, частота и скорость распространения волны — изменятся при переходе волны из вакуума в алмаз?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
При переходе волны из вакуума в алмаз изменится скорость распространения волны. Она уменьшиться, так как алмаз — оптически более плотная среда, чем вакуум. Так как уменьшается скорость, уменьшается и длина волна. При этом частота останется неизменной.
Упражнение № 2
Используя рисунок 20, докажите, что относительный показатель преломления $n_{21}$ для данных двух сред не зависит от угла падения луча света.
Дано:
$\alpha_1 = 50 \degree$
$\gamma_1 = 30 \degree$
$\alpha_2 = 37 \degree$
$\gamma_2 = 23.7 \degree$
Доказать:
$n_{21} = const$
Посмотреть доказательство
Скрыть
Доказательство:
Относительный показатель преломления по определению:
$n_{21} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$.
Рассчитаем его для случая 1:
$n_{21} = \frac{\sin \alpha_1}{\sin \gamma_1}$,
$n_{21} = \frac{\sin 50 \degree}{\sin 30 \degree} \approx \frac{0.77}{0.5} \approx 1.5$.
Рассчитаем относительный показатель преломления для случая 2:
$n_{21} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \gamma_2}$,
$n_{21} = \frac{\sin 37 \degree}{\sin 23.7 \degree} \approx \frac{0.6}{0.4} \approx 1.5$.
В обоих случаям мы получили $n_{21} = 1.5$. Значит, относительный показатель преломления не зависит от угла падения луча света.
Упражнение № 3
Какая из двух сред (рисунок 21) обладает большей оптической плотностью? В какой из них луч света распространяется с большей скоростью? Ответ обоснуйте.
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Среда 1 обладает большей оптической плотностью, чем среда 2, потому что угол преломления $\gamma$ больше угла падения $\alpha$/
Луч света распространяется с большей скоростью в среде 2, так как она оптически менее плотная. Значит, ее молекулы оказывают меньшее влияние на проходящий через эту среду луч света.
Упражнение № 4
Используя уравнения $n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$ и $n = \frac{c}{\upsilon}$, докажите, что $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$, где $n_1$ — абсолютный показатель преломления первой среды, а $n_2$ — второй.
Посмотреть доказательство
Скрыть
Доказательство:
Абсолютный показатель преломления первой среды:
$n_1 = \frac{c}{\upsilon_1}$.
Выразим отсюда скорость света в первой среде:
$\upsilon_1 = \frac{c}{n_1}$.
Проделаем то же самое для скорости света во второй среде:
$n_2 = \frac{c}{\upsilon_2}$,
$\upsilon_2 = \frac{c}{n_2}$.
Подставим эти выражения в формулу относительного показателя преломления:
$n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = \frac{\frac{c}{n_1}}{\frac{c}{n_2}} = \frac{n_2}{n_1}$.
Часто задаваемые вопросы
Оптически более плотным является то вещество, скорость распространения в котором меньше (или то вещество, у которого больше показатель преломления).
Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде: $n = \frac{c}{\upsilon}$.
Относительный показатель преломления второй среды относительно первой равен отношению скоростей света в этих средах: $n_{21} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$.
Свет распространяется с наибольшей скоростью в вакууме: $c = 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$.
Скорость света уменьшается при переходе из вакуума в среду (или из оптически менее плотной среды в оптически более плотную), потому что световая волна взаимодействует (или испытывает более сильное взаимодействие) с атомами и молекулами среды.
Абсолютный показатель преломления среды и скорость света в ней определяются свойствами этой среды.
При переходе света в оптически более плотную среду уменьшается скорость и длина световой волны, а волновой фронт поворачивается так, что угол преломления $\gamma$ меньше угла падения $\alpha$.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти