Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Решение задач на удельную теплоемкость и количество теплоты, затраченное на нагревание тела

Содержание

    Вы познакомились с понятиями количества теплоты и удельной теплоемкости. В уроке «Расчет количества теплоты, необходимого для нагревании тела или выделяемого им при охлаждении» вы познакомились с основной формулой, которую мы будем использовать и в этом уроке:

    $Q = cm(t_2 — t_1)$

    В данном уроке мы рассмотрим задачи на нахождение различных величин, связанных с нагреванием и охлаждением тел. При их решении вам может понадобиться таблица значений удельной теплоемкости различных веществ из прошлого урока.

    Задача №1 на расчет количества теплоты

    Рассчитайте количество теплоты, необходимое для нагрева $15 \space кг$ меди на $80 \degree C$.

    Дано:
    $m = 15 \space кг$
    $c = 400 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
    $\Delta t = 80 \degree C$

    $Q — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    В данном случае нам не известны начальная и конечная температуры тела ($t_2$ и $t_1$). Нам известно изменение этой температуры: $\Delta t = t_2 — t_1$. Тогда формула для расчета количества теплоты примет вид:
    $Q = cm \Delta t$.

    Подставим значения всех величин и рассчитаем количество теплоты:
    $Q = 400 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 15 \space кг \cdot 80 \degree C = 480 \space 000 \space Дж = 480 \space кДж$.

    Ответ: $Q = 480 \space кДж$.

    Задача №2 на расчет количества теплоты

    Рассчитайте количество теплоты, необходимое, чтобы нагреть бассейн объемом $300 \space м^3$ на $10 \degree C$.

    В задаче идет речь о бассейне, а значит, о пресной воде. Она имеет плотность, равную $1000 \frac{кг}{м^3}$. Запишем условия задачи и решим ее.

    Дано:
    $V = 300 \space м^3$
    $\Delta t = 10 \degree C$
    $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
    $\rho = 1000 \frac{кг}{м^3}$
    $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$

    $Q — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Нам неизвестна масса воды в бассейне, но известен ее объем и плотность. Плотность по определению:
    $\rho = \frac{m}{V}$.

    Тогда масса будет равна:
    $m = \rho V$.

    Также нам неизвестны начальная и конечная температуры тела ($t_2$ и $t_1$). Нам известно изменение этой температуры: $\Delta t = t_2 — t_1$. Тогда формула для расчета количества теплоты примет вид:
    $Q = c \rho V \Delta t$.

    Рассчитаем количество теплоты:
    $Q = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 300 \space м^3 \cdot 10 \degree C = 12.6 \cdot 10^9 \space Дж = 12.6 \space ГДж$.

    Ответ: $Q = 12.6 \space ГДж$.

    Задача №3 на расчет массы

    Найдите массу глицерина, если при нагревании от $10 \degree C$ до $15 \degree C$ он поглотил $12 \space кДж$ теплоты. Удельная теплоемкость глицерина равна $2430 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$.

    Дано:
    $Q = 12 \space кДж$
    $t_1 = 10 \degree C$
    $t_2 = 15 \degree C$
    $c = 2430 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$

    СИ:
    $Q = 12 \cdot 10^3 \space Дж$

    $m — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Выразим отсюда массу глицерина:
    $m = \frac{Q}{c(t_2 — t_1)}$.

    Рассчитаем:
    $m = \frac{12 \cdot 10^3 \space Дж}{2430 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot (15 \degree C — 10 \degree C)} \approx 1 \space кг$.

    Ответ: $m \approx 1 \space кг$.

    Задача №4 на расчет плотности

    Определите плотность машинного масла объемом $1 \space л$, если известно, что для увеличения температуры на $30 \degree C$ ему требуется передать $45 \space кДж$ теплоты. Удельная теплоемкость масла равна $1.67 \frac{кДж}{кг \cdot \degree C}$.

    Дано:
    $V = 1 \space л$
    $Q = 45 \space кДж$
    $c = 1.67 \frac{кДж}{кг \cdot \degree C}$
    $\Delta t = 30 \degree C$

    СИ:
    $V = 10^{-3} \space м^3$
    $Q = 45 \cdot 10^3 \space Дж$
    $c = 1.67 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$

    $\rho — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Нам известны изменение температуры ($\Delta t = t_2 — t_1$), количество теплоты и удельная теплоемкость машинного масла. Выразим массу и рассчитаем ее:
    $m = \frac{Q}{c \Delta t} = \frac{45 \cdot 10^3 \space Дж}{1.67 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 30 \degree C} \approx 0.9 \space кг$.

    По определению плотности:
    $\rho = \frac{m}{V}$.

    Рассчитаем плотность машинного масла:
    $\rho = \frac{0.9 \space кг}{10^{-3} \space м^3} = 0.9 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 900 \frac{кг}{м^3}$.

    Ответ: $\rho = 900 \frac{кг}{м^3}$.

    Задача №5 на расчет удельной теплоемкости

    В калориметр было налито $450 \space г$ воды, температура которой $20 \degree C$. Когда в эту воду погрузили $200 \space г$ железных опилок, нагретых до $100 \degree C$, температура воды стала равна $24 \degree C$. Определите удельную теплоемкость опилок.

    Записывая условия задачи, используем индекс “в” для обозначения величин, связанных с водой, и индекс “ж” для обозначения величин, связанных с железными опилками.

    Дано:
    $m_в = 450 \space г$
    $m_ж = 200 \space г$
    $t_{в1} = 20 \degree C$
    $t_{в2} = 24 \degree C$
    $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
    $t_{ж1} = 100 \degree C$

    СИ:
    $m_в = 0.45 \space кг$
    $m_ж = 0.2 \space кг$

    $с_ж — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела и выделяемого при его охлаждении:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Запишем эту формулу для воды:
    $Q_в = c_в m_в (t_{в2} — t_{в1})$.

    Запишем формулу количества теплоты для железных опилок:
    $Q_ж = c_ж m_ж (t_{ж2} — t_{ж1})$.

    Нагретые железные опилки помещают в воду для их охлаждения. Значит, вода будет нагреваться и поглотит некоторое количество теплоты, а опилки будут охлаждаться и выделят некоторое количество теплоты. Т.е., между этими телами будет происходить теплообмен, для которого действует уже известное вам правило:

    Если между телами происходит теплообмен, то внутренняя энергия всех нагревающихся тел увеличивается на столько, на сколько уменьшается внутренняя энергия остывающих тел.

    Это значит, что количество теплоты $Q_в$, полученное водой, будет равно количеству теплоту $Q_ж$, которое выделится при охлаждении железных опилок, но с обратным знаком: $Q_в = — Q_ж$.

    Подставим выражения, которые дает формула для расчета количества теплоты:
    $c_в m_в (t_{в2} — t_{в1}) = — c_ж m_ж (t_{ж2} — t_{ж1})$.

    После завершения теплообмена температура воды и температура железных опилок будут равны друг другу: $t_в2 = t_ж2 = t_2$.

    Подставим в наше равенство и выразим $c_ж$:
    $c_ж = — \frac{c_в m_в (t_2 — t_{в1})}{m_ж (t_2 — t_{ж1})}$.

    Рассчитаем удельную теплоемкость железных опилок:
    $c_ж = — \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.45 \space кг \cdot (24 \degree C — 20 \degree C)}{0.2 \space кг \cdot (24 \degree C — 100 \degree C)} = — \frac{7560 \space Дж}{- 15.2 \space кг \cdot \degree C} \approx 497 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \approx 0.5 \frac{кДж}{кг \cdot \degree C}$.

    Ответ: $c_ж \approx 0.5 \frac{кДж}{кг \cdot \degree C}$.

    Задача №6 на использование графика

    Используя график зависимости температуры керосина от сообщенного ему количества теплоты (рисунок 1), определите массу керосина.

    Рисунок 1. График зависимости температуры керосина от сообщаемого количества теплоты

    Для начала нам нужно записать условия задачи. Из графика мы видим, что начальная температура керосина $t_1$ была равна $0 \degree C$. Теперь выберем удобную нам точку на графике. Например, когда керосину сообщили количество теплоты $Q$, равное $2 \space кДж$, его температура $t_2$ стала равной $10 \degree C$. Теперь мы можем записать условия задачи и решить ее. Удельная теплоемкость керосина известна нам из таблицы.

    Дано:
    $Q = 2 \space кДж$
    $t_1 = 0 \degree C$
    $t_2 = 10 \degree C$
    $c = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$

    СИ:
    $Q = 2 \cdot 10^3 \space Дж$

    $m — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Выразим отсюда массу:
    $m = \frac{Q}{c (t_2 — t_1)}$.

    Рассчитаем ее:
    $m = \frac{2 \cdot 10^3 \space Дж}{2100 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot (10 \degree C — 0 \degree C)} \approx 0.095 \space кг \approx 100 \space г$.

    Ответ: $m \approx 100 \space г$.

    Задача №7 на расчет температуры нагрева

    Стальной резец массой $2 \space кг$ был нагрет до температуры $800 \degree C$ и затем опущен в сосуд, содержащий $15 \space л$ воды при температуре $10 \degree C$. До какой температуры нагреется вода в сосуде?

    Записывая условия задачи, используем индекс “в” для обозначения величин, связанных с водой, и индекс “р” для обозначения величин, связанных со стальным резцом.

    Дано:
    $V_в = 15 \space л$
    $m_р = 2 \space кг$
    $t_{р1} = 800 \degree C$
    $c_р = 500 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
    $\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$
    $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
    $t_{в1} = 10 \degree C$

    СИ:
    $V_в = 15 \cdot 10^3 м^3$

    $t_{в2} — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Когда нагретый резец опускают в холодную воду, между этими двумя телами происходит теплообмен. Резец остывает и выделяет энергию, а вода получает эту энергию и нагревается. Соответственно, количество теплоты, которое выделится при остывании стального резца, численно будет равно количеству теплоту, которое получит вода. 

    Когда теплообмен завершится,температуры стального резца и воды будут одинаковы: $t_{в2} = t_{р2} = t_2$.

    Запишем формулу для расчета количества теплоты, которое выделится при остывании резца:
    $Q_р = с_р m_р (t_2 — t_{р1})$.

    Запишем формулу для расчета количества теплоты, которое получила вода:
    $Q_в = с_в m_в (t_2 — t_{в1})$.

    Приравняем правые части этих уравнений, не забыв про знак “минус”, которые указывает на выделение энергии при охлаждении тела:
    $с_р m_р (t_2 — t_{р1}) = — с_в m_в (t_2 — t_{в1})$.

    Раскроем скобки:
    $с_р m_р t_2 — с_р m_р t_{р1} = — с_в m_в t_2 + с_в m_в t_{в1}$.

    Перенесем множители с $t_2$ на одну сторону уравнения и выразим эту температуру, до которой нагреется вода:
    $с_р m_р t_2 + с_в m_в t_2 =  с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}$,
    $t_2 (с_р m_р +  с_в m_в) =  с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}$,
    $t_2 = \frac{с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}}{с_р m_р +  с_в m_в}$.

    Нам неизвестна масса воды, но известны ее плотность и объем. Выразим и рассчитаем массу через эти величины:
    $m_в = \rho_в V_в = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 15 \cdot 10^3 м^3 = 15 \space кг$.

    Теперь мы можем рассчитать температуру $t_2$:
    $t_2 = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 15 \space кг \cdot 10 \degree C + 500 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 2 \space кг \cdot 800 \degree C}{500 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 2 \space кг + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 15 \space кг} = \frac{630 \cdot 10^3 \space Дж + 800 \cdot 10^3 \space Дж}{1 \cdot 10^3 \frac{Дж}{\degree C} + 63 cdot 10^3 \frac{Дж}{\degree C}} = \frac{1430 \cdot 10^3 \space Дж}{64 \cdot 10^3 \frac{Дж}{\degree C}} \approx 22.3 \degree C$.

    Ответ: $t_2 \approx 22.3 \degree C$.

    Задача №8 на смешивание трех жидкостей

    Какой температуры получится вода, если смешать $0.02 \space кг$ воды при $15 \degree C$, $0.03 \space кг$ воды при $25 \degree C$ и $0.01 \space кг$ воды при $60 \degree C$?

    Дано:
    $m_1 = 0.02 \space кг$
    $t_1 = 15 \degree C$
    $m_2 = 0.03 \space кг$
    $t_2 = 25 \degree C$
    $m_3 = 0.01 \space кг$
    $t_3 = 60 \degree C$

    $t — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    При смешивании жидкостей разных температур, мы знаем, что внутренняя энергия всех нагревающихся тел увеличивается на столько, на сколько уменьшается внутренняя энергия остывающих тел.

    Для смешивания двух жидкостей мы можем записать, что $Q_1 = — Q_2$ или $Q_1 + Q_2 = 0$.

    Сначала рассмотрим смешивание первых двух порций воды. Первая порция с температурой $15 \degree C$ будет нагреваться (получать энергию), а вторая порция с температурой $25 degree C$ будет охлаждаться (выделять энергию). Эти энергии будут численно равны друг другу, но противоположны по знаку:
    $cm_1(t_{1+2} — t_1) = — cm_2(t_{1+2} — t_2)$.

    Найдем конечную температуру этой смеси:
    $m_1(t_{1+2} — t_1) = — m_2 (t_{1+2} — t_2)$,
    $m_1 t_{1+2} — m_1 t_1 = -m_2 t_{1+2} + m_2 t_2$,
    $t_{1+2} (m_1 + m_2) = m_1 t_1 + m_2 t_2$,

    $t_{1+2} = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.02 \space кг \cdot 15 \degree C + 0.03 \space кг \cdot 25 \degree }{0.02 \space кг + 0.03 \space кг} = \frac{0.3 \space кг \cdot \degree + 0.75 \space кг \cdot \degree C}{0.05 \space кг} = 21 \degree C$.

    Так мы получили смесь первой и второй порций воды массой $m_{1+2} = 0.05 \space кг$ и температурой $t_{1+2} = 21 \degree C$.

    Теперь добавим третью порцию воды  в полученную смесь. Смесь будет нагреваться (получать энергию), а третья порция воды будет охлаждаться (выделять энергию):
    $Q_{1+2} = — Q_3$.
    $cm_{1+2} (t — t_{1+2}) = — cm_3 (t — t_3)$,
    $m_{1+2} (t — t_{1+2}) = — m_3 (t — t_3)$.

    Выразим отсюда конечную температуру смеси из трех порций воды $t$:
    $m_{1+2} t — m_{1+2} t_{1+2} = -m_3 t + m_3 t_3$,
    $t (m_{1+2} + m_3) = m_{1+2} t_{1+2} + m_3 t_3$,
    $t = \frac{m_{1+2} t_{1+2} + m_3 t_3}{m_{1+2} + m_3}$.

    Рассчитаем ее:
    $t = \frac{0.05 \space кг \cdot 21 \degree C + 0.01 \space кг \cdot 60 \degree}{0.05 \space кг + 0.01 \space кг} = \frac{1.05 \space кг \cdot \degree C + 0.6 \space кг \cdot degree C}{0.06 \space кг} = 27.5 \degree C$.

    Ответ: $t = 27.5 \degree C$.

    Задача №9 на расчет количества теплоты, рассеиваемого в окружающую среду

    Электрочайник с водой нагревается от температуры $70 \degree C$ до температуры $80 \degree C$ за $3 \space мин$, а остывает от температуры $80 \degree C$ до температуры $70 \degree C$ за $9 \space мин$. Какая часть количества теплоты, выделяемой  спиралью чайника при нагревании воды, рассеивается в окружающую среду? Тепловые потери считать постоянными.

    Внесем необходимые пояснения. Спираль чайника передает воде определенное количество теплоты $Q_2$. Часть ее ($Q_1$) рассеивается в окружающую среду. Т.е., количество теплоты $Q_2$, выделяемое спиралью, больше количества теплоты $Q$, необходимого для нагрева воды.

    Дано:
    $t_1 = 70 \degree C$
    $t_2 = 80 \degree C$
    $T_1 = 3 \space мин$
    $T_2 = 9 \space мин$

    $\frac{Q_1}{Q_2} — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть 

    Решение:

    Сначала рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить воде в чайнике, чтобы ее температура увеличилась с $70 \degree C$ до $80 \degree C$:
    $Q = cm(t_2 — t_1)$.

    Масса воды в чайнике нам неизвестна, поэтому примем ее, равной $1 \space кг$. Тогда,
    $Q = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1 \space кг \cdot (80 \degree C — 70 \degree C) = 42 \space 000 \space Дж = 42 \space кДж$.

    Когда вода в чайнике остывает с температуры $80 \degree C$ до температуры $70 \degree C$, она выделяет в окружающую среду точно такое же количество энергии $Q$. Остывание происходит за $9 \space мин$. Значит, количество теплоты, которое выделяется в окружающую среду за $1 \space мин$ будет равно:
    $Q_0 = \frac{42 \space кДж}{9 \space мин} \approx 4.7 \frac{кДж}{мин}$.

    В условиях задачи сказано, что тепловые потери постоянны. Это означает, что вода массой $1 \space кг$ отдает $4.7 \space кДж$ каждую минуту, в том числе, и при ее нагревании.

    Нагревается вода за 3 минуты. За это время она отдает в окружающую среду следующее количество теплоты:
    $Q_1 = 4.7 \space кДж \cdot 3 = 14.1 \space кДж$.

    Тем не менее, чайник нагрел воду до нужной температуры. Значит, он сообщил воде количество энергии, равное $Q_2 = Q + Q_1$.
    $Q_2 = 42 \space кДж + 14.1 \space кДж = 56.1 \space кДж$.

    Теперь мы можем рассчитать отношение $\frac{Q_1}{Q_2}$, и узнать какая часть теплоты, выделяемая спиралью чайника, рассеивается в окружающую среду:
    $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{14.1 \space кДж}{56.1 \space кДж} \approx 0.25$.

    Т.е., в окружающую среду рассеивается $\frac{1}{4}$ часть энергии, сообщаемая воде в чайнике.

    Можно доказать, что это соотношение останется постоянным для воды любой массы в этой задаче. Чем больше будет масса воды, тем больше энергии ей будет нужно, чтобы нагреться до определенной температуры. Больше будут и тепловые потери. Искомое соотношение же останется неизменным.

    Ответ: $\frac{Q_1}{Q_2} \approx 0.25$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение