7. Вычисления и преобразования: вычисление значений тригонометрических выражений

Заметим, что $76^\circ = 90^\circ- 14^\circ.$ Воспользуемся формулой приведения:
$$\cos 76^\circ = \cos(90^\circ- 14^\circ) = \sin 14^\circ$$

Подставим в знаменатель:
$$\cos^2 14^\circ + 3 + \cos^2 76^\circ = \cos^2 14^\circ + 3 + \sin^2 14^\circ$$

Сгруппируем $\cos^2 14^\circ + \sin^2 14^\circ$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$$\cos^2 14^\circ + \sin^2 14^\circ = 1$$

Таким образом, знаменатель упрощается:
$$1 + 3 = 4$$

Исходное выражение принимает вид:
$$\dfrac{59}{4} = 14.75$$

Заметим, что $79^\circ = 90^\circ- 11^\circ.$ Воспользуемся формулой приведения:
$$\sin(90^\circ- \alpha) = \cos \alpha$$
Таким образом:
$$\sin 79^\circ = \sin(90^\circ- 11^\circ) = \cos 11^\circ$$

Подставим в исходное выражение:
$$\dfrac{35 \cos 11^\circ}{\sin 79^\circ} + 7 = \dfrac{35 \cos 11^\circ}{\cos 11^\circ} + 7$$

Сократим $\cos 11^\circ$ (при условии $\cos 11^\circ \neq 0,$ что верно):
$$\dfrac{35 \cos 11^\circ}{\cos 11^\circ} = 35$$

Тогда:
$$35 + 7 = 42$$

Используем формулу синуса двойного угла:
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

Известно $\cos \alpha = 0.6.$ Найдем $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\sin^2 \alpha = 1- \cos^2 \alpha = 1- (0.6)^2 = 1- 0.36 = 0.64$$

Учитывая, что $\pi < \alpha < 2\pi$ (угол в третьей или четвертой четверти), синус в этих четвертях отрицательный:
$$\sin \alpha = -\sqrt{0.64} = -0.8$$

Теперь вычислим $\sin 2\alpha{:}$
$$\sin 2\alpha = 2 \cdot (-0.8) \cdot 0.6 = -0.96$$

Используем формулу косинуса двойного угла:
$$2\cos^2 \alpha- 1 = \cos 2\alpha$$

Вынесем общий множитель $2\sqrt{2}{:}$
$$4\sqrt{2} \cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \left(2\cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 1\right)$$

В скобках получили формулу для $\cos 2\alpha,$ где $\alpha = \dfrac{15\pi}{8}{:}$
$$2\sqrt{2} \left(2\cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 1\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \dfrac{15\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \cos \dfrac{15\pi}{4}$$

Упростим аргумент косинуса, учитывая периодичность (период $2\pi{:})$
$$\dfrac{15\pi}{4} = 4\pi- \dfrac{\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi- \dfrac{\pi}{4}$$
Косинус — четная функция и имеет период $2\pi,$ поэтому:
$$\cos \dfrac{15\pi}{4} = \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{4}$$

Таким образом:
$$2\sqrt{2} \cos \dfrac{15\pi}{4} = 2\sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4}$$

Известно, что $\cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}{:}$
$$2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \dfrac{2}{2} = 2$$