8. Вычисления и преобразования: #212013

Используем формулу косинуса двойного угла:
$$2\cos^2 \alpha- 1 = \cos 2\alpha$$

Вынесем общий множитель $2\sqrt{2}{:}$
$$4\sqrt{2} \cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \left(2\cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 1\right)$$

В скобках получили формулу для $\cos 2\alpha,$ где $\alpha = \dfrac{15\pi}{8}{:}$
$$2\sqrt{2} \left(2\cos^2 \dfrac{15\pi}{8}- 1\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \dfrac{15\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \cos \dfrac{15\pi}{4}$$

Упростим аргумент косинуса, учитывая периодичность (период $2\pi{:})$
$$\dfrac{15\pi}{4} = 4\pi- \dfrac{\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi- \dfrac{\pi}{4}$$
Косинус — четная функция и имеет период $2\pi,$ поэтому:
$$\cos \dfrac{15\pi}{4} = \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{4}$$

Таким образом:
$$2\sqrt{2} \cos \dfrac{15\pi}{4} = 2\sqrt{2} \cos \dfrac{\pi}{4}$$

Известно, что $\cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}{:}$
$$2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \dfrac{2}{2} = 2$$