18. Задача с параметром: уравнения с параметром

1. Условия существования корней: $$\begin{cases}x^2-a^2\geq0 \quad(1) \\ 3x^2 (3a+1)x+a \geq0 \quad(2)\end{cases}$$

2. Возведение в квадрат и преобразование: $$x^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a$$ $$\Rightarrow 2x^2-(3a+1)x+a+a^2=0\quad(3)$$

3. Решение квадратного уравнения (3): Дискриминант: $$D=(3a+1)^2-8(a+a^2)=9a^2+6a+1-8a-8a^2=a^2-2a+1=(a-1)^2$$ Корни: $$x_1=\frac{(3a+1)-(a-1)}{4}=\frac{2a+2}{4}=\frac{a+1}{2}$$ $$x_2=\frac{(3a+1)+(a-1)}{4}=\frac{4a}{4}=a$$

4. Анализ корней на отрезке [0,1]:

Случай 1: $x=\frac{a+1}{2}$

• Должно быть $\frac{a+1}{2}\in[0,1]\Rightarrow a\in[-1,1]$
• Проверяем условие (1): $$\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-a^2\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{(a+1)^2}{4}-a^2\geq0$$ $$\Rightarrow(a+1)^2-4a^2\geq0$$ $$\Rightarrow-3a^2+2a+1\geq0$$ $$\Rightarrow3a^2-2a-1\leq0$$ Корни: $a=1$, $a=-\frac{1}{3}$. Решение неравенства: $a\in[-\frac{1}{3},1]$

Случай 2: $x=a$

• Должно быть $a\in[0,1]$
• Условие (1) выполняется автоматически: $a^2-a^2=0\geq0$

5. Количество корней на [0,1]:

Подслучай A: $a\in[-\frac{1}{3},0)$

• Только $x=\frac{a+1}{2}$ является корнем
• Проверка условия (2) для $x=\frac{a+1}{2}$: $$3\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-(3a+1)\left(\frac{a+1}{2}\right)+a\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{3(a^2+2a+1)}{4}-\frac{3a^2+4a+1}{2}+a\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{-3a^2+2a+1}{4}\geq0$$ Это совпадает с условием (1), которое уже выполнено.

Подслучай B: $a\in[0,1)$

• Оба корня $x_1=\frac{a+1}{2}$ и $x_2=a$ принадлежат [0,1]
• Проверяем, когда они совпадают: $\frac{a+1}{2}=a\Rightarrow a=1$

Подслучай C: $a=1$

• Только один корень $x=1$

6. Итоговые условия для одного корня:

• $a\in[-\frac{1}{3},0)$
• $a=1$

Ответ: $$a\in\left[-\frac{1}{3};0\right)\cup\{1\}$$

Преобразование уравнения:

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$$\frac{(2x-a)(2x+a)}{(x+3-a)(x+3+a)}=0$$

Условия существования корней:

• Числитель равен нулю:
  $$2x-a=0\quad\text{или}\quad2x+a=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{2}\quad\text{или}\quad x=-\frac{a}{2}$$
• Знаменатель не равен нулю:
  $$x+3-a\neq0\quad\text{и}\quad x+3+a\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq a-3\quad\text{и}\quad x\neq-a-3$$

Анализ корней:

• Уравнение имеет два корня $x=\frac{a}{2}$ и $x=-\frac{a}{2}$, если они различны и не совпадают с точками, обращающими знаменатель в ноль.
• Корни различны при $a\neq0$.
• Проверим, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
  $$\frac{a}{2}=a-3\quad\Rightarrow\quad a=6$$
  $$\frac{a}{2}=-a-3\quad\Rightarrow\quad a=-2$$
  $$-\frac{a}{2}=a-3\quad\Rightarrow\quad a=2$$
  $$-\frac{a}{2}=-a-3\quad\Rightarrow\quad a=-6$$

Исключение особых значений $a$:

• При $a=0$: уравнение имеет один корень $x=0$ (кратности 2).
• При $a=\pm2,\pm6$: один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя, что приводит к потере одного корня.

Итоговые условия:

• Уравнение имеет ровно два различных корня при всех $a$, кроме $a=0,\pm2,\pm6$.

Ответ: $a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;+\infty)$

Преобразование уравнения:

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$$\frac{(3x-a)(3x+a)}{(x+4-a)(x+4+a)}=0$$

Условия существования корней:

• Числитель равен нулю:
  $$3x-a=0\quad\text{или}\quad3x+a=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{3}\quad\text{или}\quad x=-\frac{a}{3}$$
• Знаменатель не равен нулю:
  $$x+4-a\neq0\quad\text{и}\quad x+4+a\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq a-4\quad\text{и}\quad x\neq-a-4$$

Анализ корней:

• Уравнение имеет два корня $x=\frac{a}{3}$ и $x=-\frac{a}{3}$, если они различны и не совпадают с точками, обращающими знаменатель в ноль.
• Корни различны при $a\neq0$.
• Проверим, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
  $$\frac{a}{3}=a-4\quad\Rightarrow\quad a=6$$
  $$\frac{a}{3}=-a-4\quad\Rightarrow\quad a=-3$$
  $$-\frac{a}{3}=a-4\quad\Rightarrow\quad a=3$$
  $$-\frac{a}{3}=-a-4\quad\Rightarrow\quad a=-6$$

Исключение особых значений $a$:

• При $a=0$: уравнение имеет один корень $x=0$ (кратности 2).
• При $a=\pm3,\pm6$: один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя, что приводит к потере одного корня.

Итоговые условия:

• Уравнение имеет ровно два различных корня при всех $a$, кроме $a=0,\pm3,\pm6$.

Ответ: $a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases}2a-x^2-3x=0,\\x+a^2\neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac{x^2+3x}{2},\\ x\neq-a^2\end{cases}$$

Анализ корней:

• Квадратное уравнение $x^2+3x-2a=0$ имеет:
• Дискриминант $D=9+8a$
• Два различных корня при $D>0$ ($a>-\frac{9}{8}$)
• Исключаем случаи, когда корень совпадает с запретным значением:
  $$x=-a^2$$
  Подставляя в уравнение:
  $$2a-(-a^2)^2-3(-a^2)=0\Rightarrow2a-a^4+3a^2=0\Rightarrow a(a^3-3a-2)=0$$
  Решения: $a=-1$, $a=0$, $a=2$

Особые случаи:

• При $a=-\frac{9}{8}$: один корень (кратности 2)
• При $a=-1$, $a=0$, $a=2$: один корень теряется

Итоговые условия:

• Два различных корня при:
  $$a\in\left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$

Ответ: $a\in\left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases} x^2-2x+a^2-4a=0 \\ x^2-a\neq0 \end{cases}$$

Анализ числителя:

• Уравнение окружности: $(x-1)^2+(a-2)^2=5$
• Центр в точке $(1,2)$, радиус $\sqrt{5}$
• Границы по $a$: $2-\sqrt{5}<a<2+\sqrt{5}$

Анализ знаменателя:

• Парабола $a=x^2$
• Точки пересечения с окружностью:
• $(0,0)$: $a=0$
• $(2,4)$: $a=4$
• $(-1,1)$: $a=1$ (точка касания)

Условия для двух решений:

• Два различных корня числителя при $a\in(2-\sqrt{5},2+\sqrt{5})$
• Исключаем точки, где корни совпадают с нулями знаменателя:
  $$a\neq0,\quad a\neq1,\quad a\neq4$$

Итоговые условия:

• Два различных решения при:
  $$a\in(2-\sqrt{5};0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;2+\sqrt{5})$$

Ответ: $a\in(2-\sqrt{5};0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;2+\sqrt{5})$

Преобразуем систему:
$$ \begin{cases} a- x^2 = a- y^2 \\ a- x^2 > 0 \\ a- y^2 > 0 \\ x^2 + y^2- 4x- 6y = 0 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} x^2 = y^2 \\ a > x^2, \\ a > y^2 \\ (x- 2)^2 + (y- 3)^2 = 13 \end{cases} $$

Из $x^2 = y^2$ следует $y = x$ или $y = -x.$

Преобразуем уравнение окружности:$$ x^2- 4x + 4 + y^2- 6y + 9 = 13 \Rightarrow (x- 2)^2 + (y- 3)^2 = 13 $$

Найдем точки пересечения прямых с окружностью:

$1.$ Для $y = x{:}$
$$ (x- 2)^2 + (x- 3)^2 = 13 $$ $$ x^2- 4x + 4 + x^2- 6x + 9 = 13 $$ $$ 2x^2- 10x + 13 = 13 \Rightarrow 2x^2- 10x = 0 \Rightarrow 2x(x- 5) = 0$$ $$ x = 0, \quad x = 5 $$ Точки: $(0;0),$ $(5;5)$

$2.$ Для $y = -x{:}$
$$ (x- 2)^2 + (-x- 3)^2 = 13 $$ $$ x^2- 4x + 4 + x^2 + 6x + 9 = 13 $$ $$ 2x^2 + 2x + 13 = 13 \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0, \quad x = -1 $$ Точки: $(0;0),$ $(-1;1)$

Таким образом, система имеет три потенциальных решения: $(-1;1),$ $(0;0),$ $(5;5).$

Условие $a > x^2$ (и $a > y^2$) должно выполняться для каждой точки:

Для точки $(-1;1)$: $a > 1.$
Для точки $(0;0)$: $a > 0.$
Для точки $(5;5)$: $a > 25.$

Чтобы система имела ровно два решения, необходимо чтобы ровно две из трех точек удовлетворяли условию $a > x^2{:}$

$1.$ Если $a > 25,$ то все три точки удовлетворяют условию — три решения.

$2.$ Если $1 < a \leq 25,$ то точки $(-1;1)$ и $(0;0)$ удовлетворяют, а точка $(5;5)$ — нет. Два решения.

$3.$ Если $0 < a \leq 1,$ то только точка $(0;0)$ удовлетворяет условию. Одно решение.

$4.$ Если $a \leq 0,$ то логарифмы не определены. Нет решений.

Ответ: $1 < a \leq 25.$