19. Задача с параметром: #195677

1. Условия существования корней: $$\begin{cases}x^2-a^2\geq0 \quad(1) \\ 3x^2 (3a+1)x+a \geq0 \quad(2)\end{cases}$$

2. Возведение в квадрат и преобразование: $$x^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a$$ $$\Rightarrow 2x^2-(3a+1)x+a+a^2=0\quad(3)$$

3. Решение квадратного уравнения (3): Дискриминант: $$D=(3a+1)^2-8(a+a^2)=9a^2+6a+1-8a-8a^2=a^2-2a+1=(a-1)^2$$ Корни: $$x_1=\frac{(3a+1)-(a-1)}{4}=\frac{2a+2}{4}=\frac{a+1}{2}$$ $$x_2=\frac{(3a+1)+(a-1)}{4}=\frac{4a}{4}=a$$

4. Анализ корней на отрезке [0,1]:

Случай 1: $x=\frac{a+1}{2}$

• Должно быть $\frac{a+1}{2}\in[0,1]\Rightarrow a\in[-1,1]$
• Проверяем условие (1): $$\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-a^2\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{(a+1)^2}{4}-a^2\geq0$$ $$\Rightarrow(a+1)^2-4a^2\geq0$$ $$\Rightarrow-3a^2+2a+1\geq0$$ $$\Rightarrow3a^2-2a-1\leq0$$ Корни: $a=1$, $a=-\frac{1}{3}$. Решение неравенства: $a\in[-\frac{1}{3},1]$

Случай 2: $x=a$

• Должно быть $a\in[0,1]$
• Условие (1) выполняется автоматически: $a^2-a^2=0\geq0$

5. Количество корней на [0,1]:

Подслучай A: $a\in[-\frac{1}{3},0)$

• Только $x=\frac{a+1}{2}$ является корнем
• Проверка условия (2) для $x=\frac{a+1}{2}$: $$3\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-(3a+1)\left(\frac{a+1}{2}\right)+a\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{3(a^2+2a+1)}{4}-\frac{3a^2+4a+1}{2}+a\geq0$$ $$\Rightarrow\frac{-3a^2+2a+1}{4}\geq0$$ Это совпадает с условием (1), которое уже выполнено.

Подслучай B: $a\in[0,1)$

• Оба корня $x_1=\frac{a+1}{2}$ и $x_2=a$ принадлежат [0,1]
• Проверяем, когда они совпадают: $\frac{a+1}{2}=a\Rightarrow a=1$

Подслучай C: $a=1$

• Только один корень $x=1$

6. Итоговые условия для одного корня:

• $a\in[-\frac{1}{3},0)$
• $a=1$

Ответ: $$a\in\left[-\frac{1}{3};0\right)\cup\{1\}$$