19. Задача с параметром: #195684

Преобразование уравнения:

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$$\frac{(3x-a)(3x+a)}{(x+4-a)(x+4+a)}=0$$

Условия существования корней:

• Числитель равен нулю:
  $$3x-a=0\quad\text{или}\quad3x+a=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{3}\quad\text{или}\quad x=-\frac{a}{3}$$
• Знаменатель не равен нулю:
  $$x+4-a\neq0\quad\text{и}\quad x+4+a\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq a-4\quad\text{и}\quad x\neq-a-4$$

Анализ корней:

• Уравнение имеет два корня $x=\frac{a}{3}$ и $x=-\frac{a}{3}$, если они различны и не совпадают с точками, обращающими знаменатель в ноль.
• Корни различны при $a\neq0$.
• Проверим, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
  $$\frac{a}{3}=a-4\quad\Rightarrow\quad a=6$$
  $$\frac{a}{3}=-a-4\quad\Rightarrow\quad a=-3$$
  $$-\frac{a}{3}=a-4\quad\Rightarrow\quad a=3$$
  $$-\frac{a}{3}=-a-4\quad\Rightarrow\quad a=-6$$

Исключение особых значений $a$:

• При $a=0$: уравнение имеет один корень $x=0$ (кратности 2).
• При $a=\pm3,\pm6$: один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя, что приводит к потере одного корня.

Итоговые условия:

• Уравнение имеет ровно два различных корня при всех $a$, кроме $a=0,\pm3,\pm6$.

Ответ: $a\in(-\infty;-6)\cup(-6;-3)\cup(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup(6;+\infty)$