19. Задача с параметром: #195685

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases}2a-x^2-3x=0,\\x+a^2\neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac{x^2+3x}{2},\\ x\neq-a^2\end{cases}$$

Анализ корней:

• Квадратное уравнение $x^2+3x-2a=0$ имеет:
• Дискриминант $D=9+8a$
• Два различных корня при $D>0$ ($a>-\frac{9}{8}$)
• Исключаем случаи, когда корень совпадает с запретным значением:
  $$x=-a^2$$
  Подставляя в уравнение:
  $$2a-(-a^2)^2-3(-a^2)=0\Rightarrow2a-a^4+3a^2=0\Rightarrow a(a^3-3a-2)=0$$
  Решения: $a=-1$, $a=0$, $a=2$

Особые случаи:

• При $a=-\frac{9}{8}$: один корень (кратности 2)
• При $a=-1$, $a=0$, $a=2$: один корень теряется

Итоговые условия:

• Два различных корня при:
  $$a\in\left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$

Ответ: $a\in\left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$