19. Задача с параметром: #195694

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases} x^2-2x+a^2-4a=0 \\ x^2-a\neq0 \end{cases}$$

Анализ числителя:

• Уравнение окружности: $(x-1)^2+(a-2)^2=5$
• Центр в точке $(1,2)$, радиус $\sqrt{5}$
• Границы по $a$: $2-\sqrt{5}<a<2+\sqrt{5}$

Анализ знаменателя:

• Парабола $a=x^2$
• Точки пересечения с окружностью:
• $(0,0)$: $a=0$
• $(2,4)$: $a=4$
• $(-1,1)$: $a=1$ (точка касания)

Условия для двух решений:

• Два различных корня числителя при $a\in(2-\sqrt{5},2+\sqrt{5})$
• Исключаем точки, где корни совпадают с нулями знаменателя:
  $$a\neq0,\quad a\neq1,\quad a\neq4$$

Итоговые условия:

• Два различных решения при
  $$a\in(2-\sqrt{5};0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;2+\sqrt{5})$$

Ответ: $a\in(2-\sqrt{5};0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;2+\sqrt{5})$