19. Задача с параметром: #212213

Преобразуем систему:
$$ \begin{cases} a- x^2 = a- y^2 \\ a- x^2 > 0 \\ a- y^2 > 0 \\ x^2 + y^2- 4x- 6y = 0 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} x^2 = y^2 \\ a > x^2, \\ a > y^2 \\ (x- 2)^2 + (y- 3)^2 = 13 \end{cases} $$

Из $x^2 = y^2$ следует $y = x$ или $y = -x.$

Преобразуем уравнение окружности:$$ x^2- 4x + 4 + y^2- 6y + 9 = 13 \Rightarrow (x- 2)^2 + (y- 3)^2 = 13 $$

Найдем точки пересечения прямых с окружностью:

$1.$ Для $y = x{:}$
$$ (x- 2)^2 + (x- 3)^2 = 13 $$ $$ x^2- 4x + 4 + x^2- 6x + 9 = 13 $$ $$ 2x^2- 10x + 13 = 13 \Rightarrow 2x^2- 10x = 0 \Rightarrow 2x(x- 5) = 0$$ $$ x = 0, \quad x = 5 $$ Точки: $(0;0),$ $(5;5)$

$2.$ Для $y = -x{:}$
$$ (x- 2)^2 + (-x- 3)^2 = 13 $$ $$ x^2- 4x + 4 + x^2 + 6x + 9 = 13 $$ $$ 2x^2 + 2x + 13 = 13 \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0, \quad x = -1 $$ Точки: $(0;0),$ $(-1;1)$

Таким образом, система имеет три потенциальных решения: $(-1;1),$ $(0;0),$ $(5;5).$

Условие $a > x^2$ (и $a > y^2$) должно выполняться для каждой точки:

Для точки $(-1;1)$: $a > 1.$
Для точки $(0;0)$: $a > 0.$
Для точки $(5;5)$: $a > 25.$

Чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы ровно две из трех точек удовлетворяли условию $a > x^2{:}$

$1.$ Если $a > 25,$ то все три точки удовлетворяют условию — три решения.

$2.$ Если $1 < a \leq 25,$ то точки $(-1;1)$ и $(0;0)$ удовлетворяют, а точка $(5;5)$ — нет. Два решения.

$3.$ Если $0 < a \leq 1,$ то только точка $(0;0)$ удовлетворяет условию. Одно решение.

$4.$ Если $a \leq 0,$ то логарифмы не определены. Нет решений.

Ответ: $1 < a \leq 25.$