Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: термодинамика
В ходе экзотермической реакции скорость выделения теплоты (в кВт) меняется со временем $t$ (в секундах, $t \geq 0$) по закону $Q(t)=40te^{-0{,}1t}$. В какой момент времени скорость выделения теплоты будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Найдём производную по правилу производной произведения, используя $\left(e^{-0{,}1t}\right)’=-0{,}1e^{-0{,}1t}$. Множитель $40e^{-0{,}1t}>0$, поэтому знак производной определяется выражением $1-0{,}1t$. $$Q'(t)=40e^{-0{,}1t}+40t \cdot (-0{,}1)e^{-0{,}1t}=40e^{-0{,}1t}(1-0{,}1t)$$ $$Q'(t)=0 \Rightarrow 1-0{,}1t=0 \Rightarrow t=10.$$
20
Мощность нагрева электрического обогревателя после включения меняется по закону $Q(t)=Ate^{-0{,}4t}$, где $A>0$ — постоянный коэффициент, $t$ — время в минутах, $t \geq 0$. В какой момент времени мощность нагрева будет наибольшей? Ответ дайте в минутах.
Найдём производную произведения. Так как $Ae^{-0{,}4t}>0$, знак производной совпадает со знаком выражения $1-0{,}4t$. $$Q'(t)=Ae^{-0{,}4t}-0{,}4Ate^{-0{,}4t}=Ae^{-0{,}4t}(1-0{,}4t)$$ $$Q'(t)=0 \Rightarrow t=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5.$$
При $0<t<2{,}5$ имеем $Q'(t)>0$, при $t>2{,}5$ имеем $Q'(t)<0$, значит $t=2{,}5$ — точка максимума.
20
Скорость выделения теплоты при протекании химической реакции (в кВт) меняется по закону $Q(t)=20e \cdot te^{-0{,}5t}$, где $t$ — время в секундах, $t \geq 0$, $e$ — основание натурального логарифма. Найдите наибольшую скорость выделения теплоты. Ответ дайте в кВт.
Сначала найдём точку максимума с помощью производной, затем вычислим значение функции в ней. Множитель $20e \cdot e^{-0{,}5t}>0$, знак производной определяется выражением $1-0{,}5t$. $$Q'(t)=20e\left(e^{-0{,}5t}-0{,}5te^{-0{,}5t}\right)=20e \cdot e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)$$ $$Q'(t)=0 \Rightarrow t=2.$$
$Q(2)=20e \cdot 2 \cdot e^{-1}=40$.
20
Мощность тепловыделения в аккумуляторе при быстрой зарядке меняется по закону $Q(t)=At^2e^{-0{,}5t}$, где $A>0$ — постоянный коэффициент, $t$ — время в минутах, $t \geq 0$. В какой момент времени мощность тепловыделения будет наибольшей? Ответ дайте в минутах.
Найдём производную произведения, используя $(t^2)’=2t$, и вынесем общий множитель $Ate^{-0{,}5t}$. При $t>0$ он положителен, поэтому знак производной определяется выражением $2-0{,}5t$. $$Q'(t)=2Ate^{-0{,}5t}-0{,}5At^2e^{-0{,}5t}=Ate^{-0{,}5t}(2-0{,}5t)$$ $Q'(t)=0 \Rightarrow t=0$ или $t=4.$
20
Температура детали (в $^\circ$C) при термообработке меняется со временем по закону $T(t)=20+15e \cdot te^{-0{,}25t}$, где $t$ — время в минутах, $t \geq 0$, $e$ — основание натурального логарифма. Найдите наибольшую температуру детали. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Постоянное слагаемое $20$ при дифференцировании обращается в ноль. Множитель $15e \cdot e^{-0{,}25t}>0$, поэтому знак производной определяется выражением $1-0{,}25t$. $$T'(t)=15e\left(e^{-0{,}25t}-0{,}25te^{-0{,}25t}\right)=15e \cdot e^{-0{,}25t}(1-0{,}25t)$$ $$T'(t)=0 \Rightarrow t=4.$$
$T(4)=20+15e \cdot 4 \cdot e^{-1}=20+60=80$.
20