Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: экономика
Предприятие выпускает детали партиями по $x$ штук. Затраты на хранение партии составляют $3x$ тыс. руб., а затраты на переналадку оборудования составляют $\frac{300}{x}$ тыс. руб. Суммарные затраты вычисляются по формуле $C(x)=3x+\frac{300}{x}$, $x>0$. При каком размере партии $x$ суммарные затраты будут наименьшими?
Способ 1 (через производную). Найдём производную и приведём её к общему знаменателю. Знаменатель $x^2>0$, поэтому знак производной определяется числителем. $$C'(x)=3-\frac{300}{x^2}=\frac{3(x^2-100)}{x^2}$$ $$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=100 \Rightarrow x=10.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Слагаемые $3x$ и $\frac{300}{x}$ положительны, а их произведение постоянно. Сумма минимальна, когда слагаемые равны. $$3x+\frac{300}{x} \geq 2\sqrt{3x \cdot \frac{300}{x}}=2\sqrt{900}=60.$$
Равенство при $3x=\frac{300}{x}$, то есть $x^2=100$, $x=10$.
20
Затраты на изготовление партии продукции размера $x$ вычисляются по формуле $C(x)=8x+\frac{200}{x}$ (тыс. руб.), $x>0$. Найдите наименьшие затраты на изготовление партии. Ответ дайте в тысячах рублей.
Способ 1 (через производную). Найдём точку минимума с помощью производной, затем вычислим затраты в этой точке. $$C'(x)=8-\frac{200}{x^2}=\frac{8(x^2-25)}{x^2}$$ $$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5.$$
$C(5)=8 \cdot 5+\frac{200}{5}=40+40=80$.
Способ 2 (через неравенство о средних). Произведение положительных слагаемых $8x$ и $\frac{200}{x}$ постоянно, поэтому сумма ограничена снизу. $$8x+\frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}}=2\sqrt{1600}=80.$$
Равенство при $8x=\frac{200}{x}$, то есть $x=5$, значит наименьшие затраты равны $80$.
20
Грузовик перевозит груз на расстояние $200$ км. Затраты на аренду грузовика и оплату водителя составляют $1600$ руб. в час, а затраты на топливо — $0{,}25v^2$ руб. в час, где $v$ — скорость в км/ч. Время в пути равно $\frac{200}{v}$ ч, поэтому общие затраты на рейс вычисляются по формуле $C(v)=\frac{200}{v}(1600+0{,}25v^2)=200\left(\frac{1600}{v}+0{,}25v\right)$, $v>0$. При какой скорости затраты на рейс будут наименьшими? Ответ дайте в км/ч.
Способ 1 (через производную). Найдём производную и приведём выражение в скобках к общему знаменателю. $$C'(v)=200\left(-\frac{1600}{v^2}+0{,}25\right)=\frac{200 \cdot 0{,}25(v^2-6400)}{v^2}$$ $$C'(v)=0 \Rightarrow v^2=6400 \Rightarrow v=80.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Произведение положительных слагаемых $\frac{1600}{v}$ и $0{,}25v$ постоянно, поэтому их сумма минимальна при их равенстве. $$\frac{1600}{v}+0{,}25v \geq 2\sqrt{\frac{1600}{v} \cdot 0{,}25v}=2\sqrt{400}=40.$$
Равенство при $0{,}25v=\frac{1600}{v}$, то есть $v^2=6400$, $v=80$.
20
Затраты на выпуск $x$ единиц продукции составляют $K(x)=0{,}5x^2+20x+800$ тыс. руб. Средние затраты на единицу продукции равны $A(x)=\frac{K(x)}{x}$, $x>0$. Найдите наименьшие средние затраты на единицу продукции. Ответ дайте в тысячах рублей.
Разделим почленно многочлен на $x$, чтобы получить удобную для исследования функцию. $$A(x)=\frac{0{,}5x^2+20x+800}{x}=0{,}5x+20+\frac{800}{x}.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную и её нули; знак производной определяется числителем. $$A'(x)=0{,}5-\frac{800}{x^2}=\frac{0{,}5(x^2-1600)}{x^2}$$ $$A'(x)=0 \Rightarrow x^2=1600 \Rightarrow x=40.$$
$$A(40)=0{,}5 \cdot 40+20+\frac{800}{40}=20+20+20=60.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Оценим сумму слагаемых $0{,}5x$ и $\frac{800}{x}$, произведение которых постоянно. $$0{,}5x+\frac{800}{x} \geq 2\sqrt{0{,}5x \cdot \frac{800}{x}}=2\sqrt{400}=40$$ $$A(x) \geq 20+40=60.$$
Равенство при $0{,}5x=\frac{800}{x}$, то есть $x^2=1600$, $x=40$.
20
Предприятие продаёт продукцию по цене $100$ тыс. руб. за единицу. Затраты на выпуск $x$ единиц продукции составляют $C(x)=\frac{x^3}{3}-5x^2+25x+50$ тыс. руб. Прибыль вычисляется по формуле $P(x)=100x-C(x)$, $x>0$. При каком объёме выпуска $x$ прибыль будет наибольшей?
Выразим прибыль как функцию от $x$ и найдём её производную. Неравенство о средних здесь не применимо, поэтому решаем только через производную. $$P(x)=100x-\frac{x^3}{3}+5x^2-25x-50=-\frac{x^3}{3}+5x^2+75x-50$$ $$P'(x)=-x^2+10x+75=-(x^2-10x-75)=-(x-15)(x+5).$$ $P'(x)=0 \Rightarrow x=15$ (корень $x=-5$ не входит в область $x>0$).
20