Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333483
Затраты на изготовление партии продукции размера $x$ вычисляются по формуле $C(x)=8x+\frac{200}{x}$ (тыс. руб.), $x>0$. Найдите наименьшие затраты на изготовление партии. Ответ дайте в тысячах рублей.
Способ 1 (через производную). Найдём точку минимума с помощью производной, затем вычислим затраты в этой точке. $$C'(x)=8-\frac{200}{x^2}=\frac{8(x^2-25)}{x^2}$$ $$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5.$$
$C(5)=8 \cdot 5+\frac{200}{5}=40+40=80$.
Способ 2 (через неравенство о средних). Произведение положительных слагаемых $8x$ и $\frac{200}{x}$ постоянно, поэтому сумма ограничена снизу. $$8x+\frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}}=2\sqrt{1600}=80.$$
Равенство при $8x=\frac{200}{x}$, то есть $x=5$, значит наименьшие затраты равны $80$.
20
