Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333478
Предприятие выпускает детали партиями по $x$ штук. Затраты на хранение партии составляют $3x$ тыс. руб., а затраты на переналадку оборудования составляют $\frac{300}{x}$ тыс. руб. Суммарные затраты вычисляются по формуле $C(x)=3x+\frac{300}{x}$, $x>0$. При каком размере партии $x$ суммарные затраты будут наименьшими?
Способ 1 (через производную). Найдём производную и приведём её к общему знаменателю. Знаменатель $x^2>0$, поэтому знак производной определяется числителем. $$C'(x)=3-\frac{300}{x^2}=\frac{3(x^2-100)}{x^2}$$ $$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=100 \Rightarrow x=10.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Слагаемые $3x$ и $\frac{300}{x}$ положительны, а их произведение постоянно. Сумма минимальна, когда слагаемые равны. $$3x+\frac{300}{x} \geq 2\sqrt{3x \cdot \frac{300}{x}}=2\sqrt{900}=60.$$
Равенство при $3x=\frac{300}{x}$, то есть $x^2=100$, $x=10$.
20
