Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333502
Грузовик перевозит груз на расстояние $200$ км. Затраты на аренду грузовика и оплату водителя составляют $1600$ руб. в час, а затраты на топливо — $0{,}25v^2$ руб. в час, где $v$ — скорость в км/ч. Время в пути равно $\frac{200}{v}$ ч, поэтому общие затраты на рейс вычисляются по формуле $C(v)=\frac{200}{v}(1600+0{,}25v^2)=200\left(\frac{1600}{v}+0{,}25v\right)$, $v>0$. При какой скорости затраты на рейс будут наименьшими? Ответ дайте в км/ч.
Способ 1 (через производную). Найдём производную и приведём выражение в скобках к общему знаменателю. $$C'(v)=200\left(-\frac{1600}{v^2}+0{,}25\right)=\frac{200 \cdot 0{,}25(v^2-6400)}{v^2}$$ $$C'(v)=0 \Rightarrow v^2=6400 \Rightarrow v=80.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Произведение положительных слагаемых $\frac{1600}{v}$ и $0{,}25v$ постоянно, поэтому их сумма минимальна при их равенстве. $$\frac{1600}{v}+0{,}25v \geq 2\sqrt{\frac{1600}{v} \cdot 0{,}25v}=2\sqrt{400}=40.$$
Равенство при $0{,}25v=\frac{1600}{v}$, то есть $v^2=6400$, $v=80$.
20
