Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333499
Затраты на выпуск $x$ единиц продукции составляют $K(x)=0{,}5x^2+20x+800$ тыс. руб. Средние затраты на единицу продукции равны $A(x)=\frac{K(x)}{x}$, $x>0$. Найдите наименьшие средние затраты на единицу продукции. Ответ дайте в тысячах рублей.
Разделим почленно многочлен на $x$, чтобы получить удобную для исследования функцию. $$A(x)=\frac{0{,}5x^2+20x+800}{x}=0{,}5x+20+\frac{800}{x}.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную и её нули; знак производной определяется числителем. $$A'(x)=0{,}5-\frac{800}{x^2}=\frac{0{,}5(x^2-1600)}{x^2}$$ $$A'(x)=0 \Rightarrow x^2=1600 \Rightarrow x=40.$$
$$A(40)=0{,}5 \cdot 40+20+\frac{800}{40}=20+20+20=60.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Оценим сумму слагаемых $0{,}5x$ и $\frac{800}{x}$, произведение которых постоянно. $$0{,}5x+\frac{800}{x} \geq 2\sqrt{0{,}5x \cdot \frac{800}{x}}=2\sqrt{400}=40$$ $$A(x) \geq 20+40=60.$$
Равенство при $0{,}5x=\frac{800}{x}$, то есть $x^2=1600$, $x=40$.
20
