15. Неравенства: логарифмы и показательные выражения

Решение.

1. Замена переменной:
   Пусть $2^x=t$ ($t>0$, $t\neq8$), тогда неравенство принимает вид:
   $$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}\geq\frac{16t+96}{t^2-64}$$
2. Приведение к общему знаменателю:
   $$\frac{(t+8)^2+(t-8)^2-16t-96}{(t-8)(t+8)}\geq0$$
   $$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\geq0$$
   $$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\geq0$$
3. Решение неравенства:
   Критические точки: $t=-8$, $t=4$, $t=8$
   Метод интервалов дает:
   $$t<-8\quad\text{или}\quad t=4\quad\text{или}\quad t>8$$
   Учитывая $t>0$:
   $$t=4\quad\text{или}\quad t>8$$
4. Обратная замена:

• $2^x=4\Rightarrow x=2$
• $2^x>8\Rightarrow x>3$

Ответ:
$$\{2\}\cup(3;+\infty)$$

1. Замена переменной:
Пусть $7^x=t$ ($t>0$, $t\neq5$, $t\neq7$), тогда:
$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}\leq t+5$$

2. Упрощение неравенства:
$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}-t-5\leq0$$
Разложим числители:
$$\frac{(t-5)(t-1)-2}{t-5}+\frac{6(t-7)+3}{t-7}-t-5\leq0$$
Упрощаем:
$$(t-1)-\frac{2}{t-5}+6+\frac{3}{t-7}-t-5\leq0$$
$$-\frac{2}{t-5}+\frac{3}{t-7}\leq0$$

3. Решение неравенства:
Приводим к общему знаменателю:
$$\frac{-2(t-7)+3(t-5)}{(t-5)(t-7)}\leq0$$
$$\frac{t-1}{(t-5)(t-7)}\leq0$$
Метод интервалов дает:
$$t\leq1\quad\text{или}\quad5<t<7$$

4. Обратная замена:

• $7^x\leq1\Rightarrow x\leq0$
• $5<7^x<7\Rightarrow\log_75<x<1$

5. Объединение решений:
$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_75;1)$$

Ответ:$$(-\infty;0]\cup(\log_75;1)$$

1. Замена переменной:
Пусть $2^x = t$ ($t > 0$, $t \neq 32$), тогда неравенство принимает вид:
$$\frac{t^2 + 7t -48}{t -32} \leq 1$$

2. Преобразование неравенства:
Перенесем $1$ в левую часть:
$$\frac{t^2 + 7t -48 -(t- 32)}{t — 32} \leq 0$$
$$\frac{t^2 + 6t -16}{t -32} \leq 0$$

3. Разложение на множители:
Числитель: $t^2 + 6t -16 = (t + 8)(t- 2)$
Получаем:
$$\frac{(t + 8)(t -2)}{t -32} \leq 0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t = -8$, $t = 2$, $t = 32$
Учитывая $t > 0$:

• При $0 < t \leq 2$: неравенство выполняется
• При $2 < t < 32$: неравенство не выполняется
• При $t > 32$: неравенство выполняется Однако при $t > 32$ знаменатель положительный, а числитель положительный при $t > 2$, поэтому:
  $$2 \leq t < 32$$

5. Обратная замена:
$$2 \leq 2^x < 32$$
$$1 \leq x < 5$$

Ответ:
$$[1; 5)$$

1. Преобразование выражения:
$$3^{2-x}=9\cdot3^{-x}$$
Введем замену: $t=3^x$ ($t>0$)
Неравенство принимает вид:
$$\frac{2t-10\cdot\frac{9}{t}}{t-\frac{9}{t}}\geq1$$

2. Упрощение неравенства:
$$\frac{2t-\frac{90}{t}}{t-\frac{9}{t}}\geq1$$
Умножим числитель и знаменатель на $t$:
$$\frac{2t^2-90}{t^2-9}\geq1$$
Перенесем 1 в левую часть:
$$\frac{2t^2-90-t^2+9}{t^2-9}\geq0$$
$$\frac{t^2-81}{t^2-9}\geq0$$

3. Разложение на множители:
$$\frac{(t-9)(t+9)}{(t-3)(t+3)}\geq0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t=-9$, $t=-3$, $t=3$, $t=9$
Учитывая $t>0$:

• При $0<t<3$: неравенство выполняется
• При $3<t<9$: неравенство не выполняется
• При $t>9$: неравенство выполняется

5. Обратная замена:

• $0<3^x<3\Rightarrow x<1$
• $3^x>9\Rightarrow x>2$

Ответ:
$$(-\infty;1)\cup[2;+\infty)$$

1. Замена переменной:
Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$, $t \neq 36$), тогда неравенство принимает вид:
$$t + \frac{243}{t -36} \geq 0$$

2. Приведение к общему знаменателю:
$$\frac{t(t -36) + 243}{t -36} \geq 0$$
$$\frac{t^2 -36t + 243}{t -36} \geq 0$$

3. Разложение числителя:
$$t^2 -36t + 243 = (t -9)(t -27)$$
Получаем:
$$\frac{(t -9)(t -27)}{t -36} \geq 0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t = 9$, $t = 27$, $t = 36$

• При $0 < t \leq 9$: неравенство выполняется
• При $9 < t < 27$: неравенство не выполняется
• При $27 \leq t < 36$: неравенство выполняется
• При $t > 36$: неравенство выполняется Учитывая $t \neq 36$, получаем:
  $$9 \leq t \leq 27 \quad \text{или} \quad t > 36$$

5. Обратная замена:

• $9 \leq 3^x \leq 27 \Rightarrow 2 \leq x \leq 3$
• $3^x > 36 \Rightarrow x > \log_3 36$

Ответ:
$$[2; 3] \cup \left(\frac{\ln 36}{\ln 3}; +\infty\right)$$