16. Неравенства: #195002

1. Замена переменной:
Пусть $2^x = t$ ($t > 0$, $t \neq 32$), тогда неравенство принимает вид:
$$\frac{t^2 + 7t -48}{t -32} \leq 1$$

2. Преобразование неравенства:
Перенесем $1$ в левую часть:
$$\frac{t^2 + 7t -48 -(t- 32)}{t — 32} \leq 0$$
$$\frac{t^2 + 6t -16}{t -32} \leq 0$$

3. Разложение на множители:
Числитель: $t^2 + 6t -16 = (t + 8)(t- 2)$
Получаем:
$$\frac{(t + 8)(t -2)}{t -32} \leq 0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t = -8$, $t = 2$, $t = 32$
Учитывая $t > 0$:

• При $0 < t \leq 2$: неравенство выполняется
• При $2 < t < 32$: неравенство не выполняется
• При $t > 32$: неравенство выполняется. Однако при $t > 32$ знаменатель положительный, а числитель положительный при $t > 2$, поэтому:
  $$2 \leq t < 32$$

5. Обратная замена:
$$2 \leq 2^x < 32$$
$$1 \leq x < 5$$

Ответ:
$$[1; 5)$$