Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194999
Решите неравенство:
$$\frac{49^x-6\cdot7^x+3}{7^x-5}+\frac{6\cdot7^x-39}{7^x-7}\leq7^x+5$$
1. Замена переменной:
Пусть $7^x=t$ ($t>0$, $t\neq5$, $t\neq7$), тогда:
$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}\leq t+5$$
2. Упрощение неравенства:
$$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}-t-5\leq0$$
Разложим числители:
$$\frac{(t-5)(t-1)-2}{t-5}+\frac{6(t-7)+3}{t-7}-t-5\leq0$$
Упрощаем:
$$(t-1)-\frac{2}{t-5}+6+\frac{3}{t-7}-t-5\leq0$$
$$-\frac{2}{t-5}+\frac{3}{t-7}\leq0$$
3. Решение неравенства:
Приводим к общему знаменателю:
$$\frac{-2(t-7)+3(t-5)}{(t-5)(t-7)}\leq0$$
$$\frac{t-1}{(t-5)(t-7)}\leq0$$
Метод интервалов дает:
$$t\leq1\quad\text{или}\quad5<t<7$$
4. Обратная замена:
- $7^x\leq1\Rightarrow x\leq0$
- $5<7^x<7\Rightarrow\log_75<x<1$
5. Объединение решений:
$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_75;1)$$
Ответ:$$(-\infty;0]\cup(\log_75;1)$$
20
