Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194997
Решите неравенство:
$$\frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8}\geq\frac{2^{x+4}+96}{4^x-64}$$
Решение.
- Замена переменной:
Пусть $2^x=t$ ($t>0$, $t\neq8$), тогда неравенство принимает вид:
$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}\geq\frac{16t+96}{t^2-64}$$ - Приведение к общему знаменателю:
$$\frac{(t+8)^2+(t-8)^2-16t-96}{(t-8)(t+8)}\geq0$$
$$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\geq0$$
$$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\geq0$$ - Решение неравенства:
Критические точки: $t=-8$, $t=4$, $t=8$
Метод интервалов дает:
$$t<-8\quad\text{или}\quad t=4\quad\text{или}\quad t>8$$
Учитывая $t>0$:
$$t=4\quad\text{или}\quad t>8$$ - Обратная замена:
- $2^x=4\Rightarrow x=2$
- $2^x>8\Rightarrow x>3$
Ответ:
$$\{2\}\cup(3;+\infty)$$
20
