16. Неравенства: #195004

1. Преобразование выражения:
$$3^{2-x}=9\cdot3^{-x}$$
Введем замену: $t=3^x$ ($t>0$)
Неравенство принимает вид:
$$\frac{2t-10\cdot\frac{9}{t}}{t-\frac{9}{t}}\geq1$$

2. Упрощение неравенства:
$$\frac{2t-\frac{90}{t}}{t-\frac{9}{t}}\geq1$$
Умножим числитель и знаменатель на $t$:
$$\frac{2t^2-90}{t^2-9}\geq1$$
Перенесем 1 в левую часть:
$$\frac{2t^2-90-t^2+9}{t^2-9}\geq0$$
$$\frac{t^2-81}{t^2-9}\geq0$$

3. Разложение на множители:
$$\frac{(t-9)(t+9)}{(t-3)(t+3)}\geq0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t=-9$, $t=-3$, $t=3$, $t=9$
Учитывая $t>0$:

• При $0<t<3$: неравенство выполняется
• При $3<t<9$: неравенство не выполняется
• При $t>9$: неравенство выполняется

5. Обратная замена:

• $0<3^x<3\Rightarrow x<1$
• $3^x>9\Rightarrow x>2$

Ответ:
$$(-\infty;1)\cup[2;+\infty)$$