16. Неравенства: #195005

1. Замена переменной:
Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$, $t \neq 36$), тогда неравенство принимает вид:
$$t + \frac{243}{t -36} \geq 0$$

2. Приведение к общему знаменателю:
$$\frac{t(t -36) + 243}{t -36} \geq 0$$
$$\frac{t^2 -36t + 243}{t -36} \geq 0$$

3. Разложение числителя:
$$t^2 -36t + 243 = (t -9)(t -27)$$
Получаем:
$$\frac{(t -9)(t -27)}{t -36} \geq 0$$

4. Решение методом интервалов:
Критические точки: $t = 9$, $t = 27$, $t = 36$

• При $0 < t \leq 9$: неравенство выполняется
• При $9 < t < 27$: неравенство не выполняется
• При $27 \leq t < 36$: неравенство выполняется
• При $t > 36$: неравенство выполняется. Учитывая $t \neq 36$, получаем:
  $$9 \leq t \leq 27 \quad \text{или} \quad t > 36$$

5. Обратная замена:

• $9 \leq 3^x \leq 27 \Rightarrow 2 \leq x \leq 3$
• $3^x > 36 \Rightarrow x > \log_3 36$

Ответ:
$$[2; 3] \cup \left(\frac{\ln 36}{\ln 3}; +\infty\right)$$