13. Уравнения: Показательные уравнения

а) Преобразуем уравнение:

1. Представим все степени с основанием $2$:
   $$(2^3)^x -5 \cdot 2^x \cdot 2 + 16 \cdot 2^{-x} = 0$$
   $$2^{3x} -10 \cdot 2^x + 16 \cdot 2^{-x} = 0$$
2. Умножим обе части на $2^x$:
   $$2^{4x} -10 \cdot 2^{2x} + 16 = 0$$
3. Сделаем замену переменной:
   $$t = 2^{2x} = 4^x$$
   Получаем квадратное уравнение:
   $$t^2 -10t + 16 = 0$$
   Корни: $t_1 = 8$, $t_2 = 2$
4. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = 8$:
  $$4^x = 8 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$$
• Для $t = 2$:
  $$4^x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}$$

б) Определим положение корней относительно заданного отрезка:

1. Вычислим границы отрезка:
   $$\log_5 2 \approx 0.43$$ $$\log_5 10 \approx 1.43$$
2. Проверим корни:

• $\dfrac{1}{2} = 0.5 \in [0.43; 1.43]$
• $\dfrac{3}{2} = 1.5 \notin [0.43; 1.43]$

Ответ (б):
$$\dfrac{1}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}$

б) $\dfrac{1}{2}$

а) Преобразуем уравнение:

1. Представим все степени с общим основанием:
   $$3 \cdot (3^2)^{x+1} -5 \cdot (2 \cdot 3)^{x+1} + 8 \cdot (2^2)^x = 0$$
   $$3 \cdot 3^{2x+2} -5 \cdot 2^{x+1} \cdot 3^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x} = 0$$
2. Разделим на $2^{2x}$:
   $$3 \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^x \cdot 9 -5 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^x \cdot 6 + 8 = 0$$
3. Сделаем замену переменной:
   $$t = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$$
   Получаем квадратное уравнение:
   $$3 \cdot t^2 \cdot 9 -5 \cdot t \cdot 6 + 8 = 0$$
   $$27t^2 -30t + 8 = 0$$
   Корни: $t_1 = \dfrac{2}{3}$, $t_2 = \dfrac{4}{9}$
4. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = \dfrac{2}{3}$:
  $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = -1$$
• Для $t = \dfrac{4}{9}$:
  $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = -2$$

Ответ (а):
$$x = -2,\ -1$$

б) Определим, какие корни принадлежат отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]$:

1. Проверим $x = -2$:
   $$-2 < -\dfrac{\pi}{2} \approx -1.57 \Rightarrow \text{не принадлежит}$$
2. Проверим $x = -1$:
   $$-\dfrac{\pi}{2} \approx -1.57 < -1 < \pi \approx 3.14 \Rightarrow \text{принадлежит}$$

Ответ (б):
$$-1$$

Итоговые ответы:
а) ${-2,\ -1}$
б) ${-1}$

а) Решим показательное уравнение:

1. Сделаем замену переменной:
   $$t = 2^x$$
   Тогда $4^x = (2^2)^x = t^2$
2. Получим квадратное уравнение:
   $$t^2 -8t + 15 = 0$$
   Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$
3. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = 3$:
  $$2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$$
• Для $t = 5$:
  $$2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$$

Ответ (а):
$$x = \log_2 3,\ \log_2 5$$

б) Проверим принадлежность корней отрезку:

1. Для $x = \log_2 3$:
   $$\log_2 3 \approx 1.585 < 2 \Rightarrow \text{не принадлежит}$$
2. Для $x = \log_2 5$:
   $$2 = \log_2 4 < \log_2 5 \approx 2.3219 < \sqrt{10} \approx 3.162 \Rightarrow \text{принадлежит}$$

Ответ (б):
$$\log_2 5$$

Итоговые ответы:
а) ${\log_2 3,\ \log_2 5}$
б) $\log_2 5$

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем уравнение:
   $$27^x -5 \cdot 9^x -9 \cdot 3^x + 45 = 0$$
2. Разложим на множители:
   $$9^x(3^x -5) — 9(3^x -5) = 0$$
   $$(3^x -5)(9^x -9) = 0$$
3. Получаем решения:

• $3^x = 5 \Rightarrow x = \log_3 5$
• $9^x = 9 \Rightarrow x = 1$

Ответ (а):
${1,\ \log_3 5}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_3 4; \log_3 10]$:

1. Для $x = 1$:
   $1 < \log_3 4 \approx 1.2619$ ⇒ не принадлежит
2. Для $x = \log_3 5$:
   $\log_3 4 \approx 1.2619 < \log_3 5 \approx 1.465 < \log_3 10 \approx 2.0959$ ⇒ принадлежит

Ответ (б):
$\log_3 5$

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем уравнение:
   $$3 \cdot 9^{x-1}- 8 \cdot 3^{x-1} + 5 = 0$$
2. Сделаем замену $t = 3^{x-1}$:
   $$3t^2 -8t + 5 = 0$$
3. Решаем квадратное уравнение:

• $t = 1 \Rightarrow 3^{x-1} = 1 \Rightarrow x = 1$
• $t = \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3^{x-1} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow x = \log_3 5$

Ответ (а):
${1, \log_3 5}$

б) Определим корни, принадлежащие промежутку $\left(1, \dfrac{7}{3}\right)$:

1. Корень $x = 1$ не принадлежит $\left(1, \dfrac{7}{3}\right)$
2. Корень $x = \log_3 5$ принадлежит промежутку, так как:
   $1 < \log_3 5 < 2 < \dfrac{7}{3}$

Ответ (б):
$\log_3 5$

Итоговые ответы:
а) ${1,\ \log_3 5}$
б) $\log_3 5$