Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Уравнения: #194672
а) Решите уравнение:
$$4^x -2^{x+3} + 15 = 0$$
б) Определите, какие корни принадлежат отрезку $[2; \sqrt{10}]$.
а) Решим показательное уравнение:
- Сделаем замену переменной:
$$t = 2^x$$
Тогда $4^x = (2^2)^x = t^2$ - Получим квадратное уравнение:
$$t^2 -8t + 15 = 0$$
Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = 5$ - Возвращаемся к исходной переменной:
- Для $t = 3$:
$$2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$$ - Для $t = 5$:
$$2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$$
Ответ (а):
$$x = \log_2 3,\ \log_2 5$$
б) Проверим принадлежность корней отрезку:
- Для $x = \log_2 3$:
$$\log_2 3 \approx 1.585 < 2 \Rightarrow \text{не принадлежит}$$ - Для $x = \log_2 5$:
$$2 = \log_2 4 < \log_2 5 \approx 2.3219 < \sqrt{10} \approx 3.162 \Rightarrow \text{принадлежит}$$
Ответ (б):
$$\log_2 5$$
Итоговые ответы:
а) ${\log_2 3,\ \log_2 5}$
б) $\log_2 5$
20
