14. Уравнения: #194671

а) Преобразуем уравнение:

1. Представим все степени с общим основанием:
   $$3 \cdot (3^2)^{x+1} -5 \cdot (2 \cdot 3)^{x+1} + 8 \cdot (2^2)^x = 0$$
   $$3 \cdot 3^{2x+2} -5 \cdot 2^{x+1} \cdot 3^{x+1} + 8 \cdot 2^{2x} = 0$$
2. Разделим на $2^{2x}$:
   $$3 \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^x \cdot 9 -5 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^x \cdot 6 + 8 = 0$$
3. Сделаем замену переменной:
   $$t = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$$
   Получаем квадратное уравнение:
   $$3 \cdot t^2 \cdot 9 -5 \cdot t \cdot 6 + 8 = 0$$
   $$27t^2 -30t + 8 = 0$$
   Корни: $t_1 = \dfrac{2}{3}$, $t_2 = \dfrac{4}{9}$
4. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = \dfrac{2}{3}$:
  $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = -1$$
• Для $t = \dfrac{4}{9}$:
  $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = -2$$

Ответ (а):
$$x = -2,\ -1$$

б) Определим, какие корни принадлежат отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]$:

1. Проверим $x = -2$:
   $$-2 < -\dfrac{\pi}{2} \approx -1.57 \Rightarrow \text{не принадлежит}$$
2. Проверим $x = -1$:
   $$-\dfrac{\pi}{2} \approx -1.57 < -1 < \pi \approx 3.14 \Rightarrow \text{принадлежит}$$

Ответ (б):
$$-1$$

Итоговые ответы:
а) ${-2,\ -1}$
б) ${-1}$