14. Уравнения: #194670

а) Преобразуем уравнение:

1. Представим все степени с основанием $2$:
   $$(2^3)^x -5 \cdot 2^x \cdot 2 + 16 \cdot 2^{-x} = 0$$
   $$2^{3x} -10 \cdot 2^x + 16 \cdot 2^{-x} = 0$$
2. Умножим обе части на $2^x$:
   $$2^{4x} -10 \cdot 2^{2x} + 16 = 0$$
3. Сделаем замену переменной:
   $$t = 2^{2x} = 4^x$$
   Получаем квадратное уравнение:
   $$t^2 -10t + 16 = 0$$
   Корни: $t_1 = 8$, $t_2 = 2$
4. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = 8$:
  $$4^x = 8 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$$
• Для $t = 2$:
  $$4^x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}$$

б) Определим положение корней относительно заданного отрезка:

1. Вычислим границы отрезка:
   $$\log_5 2 \approx 0.43$$ $$\log_5 10 \approx 1.43$$
2. Проверим корни:

• $\dfrac{1}{2} = 0.5 \in [0.43; 1.43]$
• $\dfrac{3}{2} = 1.5 \notin [0.43; 1.43]$

Ответ (б):
$$\dfrac{1}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}$

б) $\dfrac{1}{2}$