ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
7. Анализ графиков и диаграмм: анализ графиков функций
На рисунках изображены графики функций вида $y=kx+b.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $k<0,\ b<0$
$2)$ $k>0,\ b>0$
$3)$ $k<0,\ b>0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
В линейной функции коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона функции к оси $Ox.$ Если функция возрастает, коэффициент $k >0.$ Если убывает — $k<0.$
Коэффициент $b$ равен значению $y$ в месте пересечения функцией оси $Oy.$ Если функция пересекает ось $Oy$ выше нуля, коэффициент $b >0,$ если ниже, то $b<0.$
20
На рисунках изображены графики функций вида $y=kx+b.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $k<0,\ b>0$
$2)$ $k>0,\ b<0$
$3)$ $k>0,\ b>0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
В линейной функции коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона функции к оси $Ox.$ Если функция возрастает, коэффициент $k >0.$ Если убывает — $k<0.$
Коэффициент $b$ равен значению $y$ в месте пересечения функцией оси $Oy.$ Если функция пересекает ось $Oy$ выше нуля, коэффициент $b >0,$ если ниже, то $b<0.$
20
На рисунках изображены графики функций вида $y=kx+b.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $k<0,\ b<0$
$2)$ $k>0,\ b<0$
$3)$ $k<0,\ b>0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
В линейной функции коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона функции к оси $Ox.$ Если функция возрастает, коэффициент $k >0.$ Если убывает — $k<0.$
Коэффициент $b$ равен значению $y$ в месте пересечения функцией оси $Oy.$ Если функция пересекает ось $Oy$ выше нуля, коэффициент $b >0,$ если ниже, то $b<0.$
20
На рисунках изображены графики функций вида $y=kx+b.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $k>0,\ b<0$
$2)$ $k<0,\ b>0$
$3)$ $k>0,\ b>0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
В линейной функции коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона функции к оси $Ox.$ Если функция возрастает, коэффициент $k >0.$ Если убывает — $k<0.$
Коэффициент $b$ равен значению $y$ в месте пересечения функцией оси $Oy.$ Если функция пересекает ось $Oy$ выше нуля, коэффициент $b >0,$ если ниже, то $b<0.$
20
На рисунках изображены графики функций вида $y=kx+b.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $k<0,\ b<0$
$2)$ $k<0,\ b>0$
$3)$ $k>0,\ b>0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
В линейной функции коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона функции к оси $Ox.$ Если функция возрастает, коэффициент $k >0.$ Если убывает — $k<0.$
Коэффициент $b$ равен значению $y$ в месте пересечения функцией оси $Oy.$ Если функция пересекает ось $Oy$ выше нуля, коэффициент $b >0,$ если ниже, то $b<0.$
20
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой $x_0.$ Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $-0.5$
$2)$ $1$
$3)$ $-\dfrac{5}{3}$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
| | | |
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, где убывает — отрицательна. Производная равна скорости изменения функции, значит, чем круче функция возрастает или убывает, тем больше значение ее производной по модулю.
20
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой $x_0.$ Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $1$
$2)$ $-\dfrac{2}{5}$
$3)$ $\dfrac{3}{4}$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
| | | |
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, где убывает — отрицательна. Производная равна скорости изменения функции, значит, чем круче функция возрастает или убывает, тем больше значение ее производной по модулю.
20
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой $x_0.$ Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $-2$
$2)$ $1$
$3)$ $\dfrac{5}{3}$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, где убывает — отрицательна. Производная равна скорости изменения функции, значит, чем круче функция возрастает или убывает, тем больше значение ее производной по модулю.
20
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой $x_0.$ Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $1$
$2)$ $-\dfrac{5}{3}$
$3)$ $\dfrac{3}{4}$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
| | | |
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, где убывает — отрицательна. Производная равна скорости изменения функции, значит, чем круче функция возрастает или убывает, тем больше значение ее производной по модулю.
20
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведенные к ним в точках с абсциссой $x_0.$ Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0.$
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
$1)$ $-\dfrac{2}{5}$
$2)$ $1$
$3)$ $-0.5$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
| | | |
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, где убывает — отрицательна. Производная равна скорости изменения функции, значит, чем круче функция возрастает или убывает, тем больше значение ее производной по модулю.
20
На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A, B, C$ и $D$ на оси $Ox.$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ значение функции в точке отрицательно,
а значение производной функции в точке положительно
$2)$ значение функции в точке отрицательно
и значение производной функции в точке отрицательно
$3)$ значение функции в точке положительно,
а значение производной функции в точке отрицательно
$4)$ значение функции в точке положительно
и значение производной функции в точке положительно
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C | D |
|---|---|---|---|
| | | |
Там, где функция возрастает, ее производная положительна, а где убывает — отрицательна.
В точке $A$ функция находится ниже оси $Ox$ и возрастает, значит, ее значение отрицательно, а значение ее производной положительно.
В точке $B$ функция находится выше оси $Ox$ и убывает, значит, ее значение положительно, а значение ее производной отрицательно.
В точке $C$ функция находится ниже оси $Ox$ и убывает, значит, ее значение отрицательно, и значение ее производной отрицательно.
В точке $D$ функция находится выше оси $Ox$ и возрастает, значит, ее значение положительно, и значение ее производной положительно.
20
На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами $A, B, C$ и $D.$ В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A, B,C$ и $D.$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ $4$
$2)$ $-0.7$
$3)$ $-3$
$4)$ $0.5$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C | D |
|---|---|---|---|
| | | | |
Там, где функция возрастает, значение ее производной положительное, там, где убывает — отрицательное. Чем круче функция возрастает или убывает, тем больше будет значение производной по модулю.
Круче всего функция возрастает в точке $B,$ значит, ей будет принадлежать самое большое значение производной — $4.$ Еще одна точка на промежутке возрастания функции — $C.$ Ее значение будет равно $0.5.$
Круче всего функция убывает в точке $A,$ значит, ей будет принадлежать самое маленькое значение производной — $-3.$ Значение последней точки $D$ будет равно $-0.7.$
20
На рисунке изображен график функции, к которому проведены касательные в четырех точках. Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ $3$
$2)$ $-4$
$3)$ $\dfrac{2}{3}$
$4)$ $-0.5$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| $K$ | $L$ | $M$ | $N$ |
|---|---|---|---|
| | | | |
Там, где функция возрастает, значение ее производной положительное, там, где убывает — отрицательное. Чем круче функция возрастает или убывает, тем больше будет значение производной по модулю.
Круче всего функция возрастает в точке $K,$ значит, ей будет принадлежать самое большое значение производной — $3.$ Еще одна точка на промежутке возрастания функции — $N.$ Ее значение будет равно $\dfrac{2}{3}.$
Круче всего функция убывает в точке $L,$ значит, ей будет принадлежать самое маленькое значение производной — $-4.$ Значение последней точки $M$ будет равно $-0.5.$
20
На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами $A, B, C$ и $D.$ В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A, B, C$ и $D.$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ $0.5$
$2)$ $-1.5$
$3)$ $3$
$4)$ $-0.3$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C | D |
|---|---|---|---|
| | | | |
Там, где функция возрастает, значение ее производной положительное, там, где убывает — отрицательное. Чем круче функция возрастает или убывает, тем больше будет значение производной по модулю.
Круче всего функция возрастает в точке $A,$ значит, ей будет принадлежать самое большое значение производной — $3.$ Еще одна точка на промежутке возрастания функции — $D.$ Ее значение будет равно $0.5.$
Круче всего функция убывает в точке $C,$ значит, ей будет принадлежать самое маленькое значение производной — $-1.5.$ Значение последней точки $B$ будет равно $-0.3.$
20
На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c.$ Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ $a > 0, c< 0$
$2)$ $a < 0, c< 0$
$3)$ $a < 0, c> 0$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C |
|---|---|---|
| | | |
Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы. Если ветви смотрят вверх, то $a>0,$ если вниз, то меньше. Коэффициент $c$ равен значению $y$ в месте пересечения графика с осью $y.$ Таким образом, если график пересекает ось $y$ выше нуля, значение $c$ будет положительным, если ниже — отрицательным.
20
На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами $A, B, C$ и $D.$ В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A, B, C$ и $D.$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ $-1.45$
$2)$ $1.6$
$3)$ $-0.3$
$4)$ $0.7$
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
| А | B | C | D |
|---|---|---|---|
| | | | |
Там, где функция возрастает, значение ее производной положительное, там, где убывает — отрицательное. Чем круче функция возрастает или убывает, тем больше будет значение производной по модулю.
Круче всего функция возрастает в точке $A,$ значит, ей будет принадлежать самое большое значение производной — $1.6.$ Еще одна точка на промежутке возрастания функции — $B.$ Ее значение будет равно $0.7.$
Круче всего функция убывает в точке $C,$ значит, ей будет принадлежать самое маленькое значение производной — $-1.45.$ Значение последней точки $D$ будет равно $-0.3.$
20
На рисунке изображен график функции $y = f(x).$ Числа $a, b, c, d$ и $e$ задают на оси $x$ четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или ее производной.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$1)$ производная положительна на всем интервале
$2)$ производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала
$3)$ производная отрицательна на всем интервале
$4)$ функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала
| $( a; b)$ | $( b; c)$ | $( c; d)$ | $( d; e)$ |
|---|---|---|---|
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот.
На интервале $(a; b)$ производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала, так как функция сначала возрастает, а затем убывает.
На интервале $( b; c)$ производная отрицательна на всем интервале, так как функция все время убывает.
На интервале $( c; d)$ функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала.
На интервале $( d; e)$ производная положительна на всем интервале, так как функция все время возрастает.
20
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.
| ФУНКЦИИ | ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|---|---|
| A) $ y = 2x- 3 $ | 1) функция возрастающая |
| B) $ y = x^2- x + 2 $ | 2) функция убывающая |
| C) $ y = 4x- x^2 $ | 3) функция имеет точку минимума |
| D) $ y = 5- 3x $ | 4) функция имеет точку максимума |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
A) $ y = 2x- 3 $
- Это линейная функция с угловым коэффициентом $ k = 2 > 0 .$
- Значит, функция возрастает на всей области определения.
- Ответ: 1.
B) $ y = x^2- x + 2 $
- Это квадратичная функция $ y = ax^2 + bx + c ,$ где $ a = 1 > 0 .$
- График — парабола, ветви направлены вверх ⇒ функция имеет точку минимума.
- Ответ: 3.
C) $ y = 4x- x^2 $
- Запишем в стандартном виде: $ y = -x^2 + 4x ,$ $ a = -1 < 0 .$
- График — парабола, ветви направлены вниз ⇒ функция имеет точку максимума.
- Ответ: 4.
D) $ y = 5- 3x $
- Это линейная функция с угловым коэффициентом $ k = -3 < 0 .$
- Значит, функция убывает на всей области определения.
- Ответ: 2.
20
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке $[2; 7].$
| ФУНКЦИИ | ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|---|---|
| A) $ y = 15- 7x $ | 1) функция возрастает на отрезке $[2; 7]$ |
| Б) $ y = -x^2 + 6x- 10 $ | 2) функция убывает на отрезке $[2; 7]$ |
| В) $ y = x^2- 5x + 7 $ | 3) функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка $[2; 7]$ |
| Г) $ y = 12x- 25 $ | 4) функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка $[2; 7]$ |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
A) $ y = 15- 7x $
- Это линейная функция с угловым коэффициентом $ k = -7 < 0 .$
- Значит, функция убывает на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[2; 7].$
- Ответ: 2.
Б) $ y = -x^2 + 6x- 10 $
- Квадратичная функция, $ a = -1 < 0 ,$ ветви параболы направлены вниз.
- Найдем вершину: $ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{-2} = 3 .$
- На отрезке $[2; 7]$ функция возрастает до $x=3,$ затем убывает, поэтому нельзя однозначно отнести к «возрастает» или «убывает» на всем отрезке.
- Проверим значения на концах отрезка:
- При $x=2$: $ y = -4 + 12- 10 = -2 $
- При $x=7$: $ y = -49 + 42- 10 = -17 $
- На отрезке $[2; 7]$ функция всегда отрицательна (максимум при $x=3$: $y = -9 + 18- 10 = -1$).
- Ответ: 3.
В) $ y = x^2- 5x + 7 $
- Квадратичная функция, $ a = 1 > 0 ,$ ветви вверх.
- Вершина: $ x_0 = -\frac{-5}{2} = 2.5 .$
- На отрезке $[2; 7]$ минимум в $x=2.5$: $ y = 6.25- 12.5 + 7 = 0.75 > 0 .$
- Проверим на концах:
- $x=2$: $ y = 4- 10 + 7 = 1 > 0 $
- $x=7$: $ y = 49- 35 + 7 = 21 > 0 $
- Значит, на всем отрезке функция положительна.
- Ответ: 4.
Г) $ y = 12x- 25 $
- Линейная функция, $ k = 12 > 0 $ ⇒ возрастает на $[2; 7].$
- Проверим знак: при $x=2$: $ y = 24- 25 = -1 < 0,$ при $x=7$: $ y = 84- 25 = 59 > 0.$
- Но характеристика 1 говорит только о возрастании, не о знаке.
- Ответ: 1.
20
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.
| ФУНКЦИИ | ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|---|---|
| А) $ y = 8x + 10 $ | 1) функция имеет точку максимума |
| Б) $ y = x^2- 12x + 5 $ | 2) функция убывающая |
| В) $ y = 4x- x^2 $ | 3) функция имеет точку минимума |
| Г) $ y = 17- 3x $ | 4) функция возрастающая |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
А) $ y = 8x + 10 $
- Это линейная функция с угловым коэффициентом $ k = 8 > 0 .$
- Функция возрастает на всей области определения.
- Ответ: 4.
Б) $ y = x^2- 12x + 5 $
- Это квадратичная функция вида $ y = ax^2 + bx + c ,$ где $ a = 1 > 0 .$
- График — парабола, ветви направлены вверх.
- Такая функция имеет точку минимума (в вершине параболы).
- Ответ: 3.
В) $ y = 4x- x^2 $
- Преобразуем: $ y = -x^2 + 4x ,$ где $ a = -1 < 0 .$
- График — парабола, ветви направлены вниз.
- Такая функция имеет точку максимума (в вершине параболы).
- Ответ: 1.
Г) $ y = 17- 3x $
- Это линейная функция с угловым коэффициентом $ k = -3 < 0 .$
- Функция убывает на всей области определения.
- Ответ: 2.
20