7. Молекулярная физика: Уравнение Клапейрона - Менделеева
При изменении состояния разреженного газа его абсолютная температура увеличилась в $2$ раза, а концентрация молекул уменьшилась в $3$ раза. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.
Основное уравнение состояния:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$p = nkT$$ где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = \left(\frac{n_1}{3}\right)k(2T_1)$
3. Отношение давлений:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{n_1}{3} \cdot 2T_1}{n_1T_1} = \frac{2}{3} \approx 0.666…$$
4. Вывод:
Давление уменьшилось в $1.5$ раза (или изменилось в $\frac{2}{3}$ раза).
20
При температуре $T_0$ и давлении $p_1 = 40\,\text{кПа}$ $2$ моля идеального газа занимают объем $V_0$. Определите давление $1$ моля этого газа при температуре $2T_0$ в том же объеме $V_0$. Ответ выразите в килопаскалях.
Уравнение состояния для начальных условий:
$$p_1V_0 = \nu_1RT_0$$где $\nu_1 = 2\,\text{моль}$
2. Уравнение состояния для конечных условий:
$$p_2V_0 = \nu_2R(2T_0)$$где $\nu_2 = 1\,\text{моль}$
3. Отношение уравнений состояния:
$$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\nu_1T_0}{\nu_2 \cdot 2T_0} = \frac{2}{1 \cdot 2} = 1$$
4. Вычисление давления:
$$p_2 = p_1 = 40\,\text{кПа}$$
20
В сосуде постоянного объема находится идеальный газ. Во сколько раз нужно увеличить количество вещества газа, чтобы после уменьшения абсолютной температуры в $2$ раза его давление стало вдвое больше начального?
Уравнение состояния для начального состояния:
$$p_1V = \nu_1RT_1$$
2. Уравнение состояния для конечного состояния:
$$p_2V = \nu_2RT_2$$где:
$T_2 = \frac{T_1}{2}$ (температура уменьшилась в $2$ раза)
$p_2 = 2p_1$ (давление увеличилось в $2$ раза)
3. Подставляем условия:
$$2p_1V = \nu_2R\left(\frac{T_1}{2}\right)$$
4. Выражаем отношение количеств вещества:
$$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{2p_1V \cdot 2}{RT_1} \cdot \frac{RT_1}{p_1V} = 4$$
20
В сосуде постоянного объема находится идеальный газ. Во сколько раз нужно уменьшить количество вещества газа, чтобы после увеличения абсолютной температуры в $2$ раза его давление стало вдвое меньше начального?
Уравнение состояния для начального состояния:
$$p_1V = \nu_1RT_1$$
2. Уравнение состояния для конечного состояния:
$$p_2V = \nu_2RT_2$$ где:
$T_2 = 2T_1$ (температура увеличилась в $2$ раза)
$p_2 = \frac{p_1}{2}$ (давление уменьшилось в $2$ раза)
3. Подставляем условия:
$$\frac{p_1}{2}V = \nu_2R(2T_1)$$
4. Выражаем отношение количеств вещества:
$$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{p_1V}{4RT_1} \cdot \frac{RT_1}{p_1V} = \frac{1}{4}$$
5. Коэффициент изменения:
$$\frac{\nu_1}{\nu_2} = 4$$
20
Цилиндрический сосуд разделен подвижным поршнем на две части, содержащие криптон и аргон. Температуры газов одинаковы. Определите отношение концентрации молекул криптона к концентрации молекул аргона при равновесии поршня.
Условия равновесия:
Давления газов равны: $p_{Kr} = p_{Ar}$
Температуры газов равны: $T_{Kr} = T_{Ar} = T$
2. Основное уравнение МКТ:
Для каждого газа:
$$p = nkT$$
3. Применение к обоим газам:
Для криптона:
$$p_{Kr} = n_{Kr}kT$$
Для аргона:
$$p_{Ar} = n_{Ar}kT$$
4. Уравнение равновесия:
$$n_{Kr}kT = n_{Ar}kT$$
5. Упрощение:
$$n_{Kr} = n_{Ar}$$
6. Искомое отношение:
$$\frac{n_{Kr}}{n_{Ar}} = 1$$
20
При температуре $2T_0$ и давлении $2p_0$ 2 моля идеального газа занимают объем $V_0$. Определите количество молей этого же газа, которое при температуре $T_0$ и давлении $p_0$ будет занимать тот же объем $V_0$.
Уравнение состояния для начальных условий:
$$2p_0V_0 = 2RT_2$$
где $T_2 = 2T_0$
2. Уравнение состояния для конечных условий:
$$p_0V_0 = \nu RT_1$$
где $T_1 = T_0$
3. Отношение уравнений состояния:
$$\frac{2p_0V_0}{p_0V_0} = \frac{2R \cdot 2T_0}{\nu R T_0}$$
4. Упрощение и решение:
$$2 = \frac{4}{\nu}$$ $$\nu = 2\,\text{моль}$$
20
Идеальный газ переходит из состояния $1$ в состояние $2$. Определите, во сколько раз уменьшится температура газа в этом процессе.
Уравнение состояния для идеального газа:
$$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$$
2. Подстановка известных значений:
$$\frac{4p_0 \cdot 3V_0}{T_1} = \frac{2p_0 \cdot V_0}{T_2}$$
3. Упрощение уравнения:
$$\frac{12p_0V_0}{T_1} = \frac{2p_0V_0}{T_2}$$
4. Вычисление отношения температур:
$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{12}{2} = 6$$
5. Вывод:
Температура уменьшилась в $6$ раз ($T_2 = \frac{T_1}{6}$)
20
$1$ моль идеального газа нагревают изохорно (при постоянном объеме) так, что его давление увеличивается в $3$ раза, а температура возрастает на $100\ К.$ Определите начальную абсолютную температуру газа. Ответ запишите в кельвинах.
Уравнение состояния для начального состояния:
$$p_1V = \nu RT_1$$ где $\nu = 1\,\text{моль}$
2. Уравнение состояния для конечного состояния:
$$3p_1V = \nu R(T_1 + 100)$$
3. Деление уравнений:
$$\frac{3p_1V}{p_1V} = \frac{T_1 + 100}{T_1}$$
4. Упрощение и решение:
$$3 = 1 + \frac{100}{T_1}$$ $$\frac{100}{T_1} = 2$$ $$T_1 = 50\,\text{К}$$
20
Идеальный газ переходит из состояния $A$ в состояние $B$. Определите объем газа в состоянии $B.$ Ответ запишите в $10^{-3}\,\text{м}^3$.
Уравнение состояния для идеального газа:
$$pV = \nu RT$$ где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.
2. Для состояния A:
$$1.0 \cdot 10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3} = \nu R \cdot 300$$
3. Для состояния B:
$$0.5 \cdot 10^5 \cdot V_B = \nu R \cdot 300$$
4. Приравниваем выражения:
$$1.0 \cdot 10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3} = 0.5 \cdot 10^5 \cdot V_B$$
5. Вычисляем объем $V_B$:
$$V_B = \frac{1.0 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{0.5} = 8 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$
20