Синус, косинус, тангенс и котангенс и их свойства. Радианная мера угла

В $8$ классе синус, косинус и тангенс определялись с помощью прямоугольного треугольника как отношения его сторон. Такое определение применимо только к острым углам.

Для распространения тригонометрических функций на произвольные углы используют единичную окружность — окружность радиуса $R=1$ с центром в начале координат $(0,0)$. В этой модели угол рассматривается как поворот радиус-вектора из начального положения $(1,0)$ против часовой стрелки.

Радианная мера угла

Градусная мера удобна для бытовых измерений, но она искусственна (делит окружность на $360$ частей). Радиан — «естественная» единица.

Радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.

Так как длина всей окружности $L = 2\pi R$, то в полной окружности $360^\circ$ содержится $2\pi$ радиан.

• $360^\circ = 2\pi \text{ рад}$
• $180^\circ = \pi \text{ рад} \approx 3{,}14 \text{ рад}$

Определение функций через координаты

Почему синус и косинус — это координаты?

Представьте прямоугольный треугольник, вписанный в единичную окружность.

1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$, катетом $a$ (противолежащим углу $\alpha$) и катетом $b$ (прилежащим к углу $\alpha$):
   • $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
   • $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
2. Если мы поместим этот треугольник в систему координат так, чтобы гипотенуза стала радиусом окружности ($R=1$), в этом случае:
   • Вершина угла $\alpha$ находится в начале координат $(0;0)$.
   • Гипотенуза превращается в радиус-вектор длиной $1$, который заканчивается в некоторой точке $M(x; y)$.
   • Теперь гипотенуза $c = R = 1$.
3. Подставим значение гипотенузы $c=1$ в формулы:
   • $\sin \alpha = \frac{y}{1} \implies \sin \alpha = y$
   • $\cos \alpha = \frac{x}{1} \implies \cos \alpha = x$

Координаты любой точки на единичной окружности — это пара $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Радиус окружности выступает «масштабирующим множителем». Если бы радиус был равен $R$, то координаты были бы $(R \cos \alpha; R \sin \alpha)$. Так как $R=1$, мы получаем значения функций.

Геометрический смысл тангенса и котангенса

Раз мы определили $\cos \alpha$ как $x$, а $\sin \alpha$ как $y$, мы можем выразить тангенс и котангенс как отношения этих координат.

• Тангенс ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$): это угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку $M$. Если мы проведем вертикальную касательную к окружности в точке $(1; 0)$, то длина отрезка от оси $OX$ до пересечения с этой касательной и будет равна значению тангенса.
• Котангенс ($\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$): аналогично, это значение функции, связанное с горизонтальной касательной в точке $(0; 1)$.

Использование единичной окружности позволяет определять синус и косинус для любых углов, а не только для острых. При повороте радиуса его проекции на оси координат могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому значения синуса и косинуса также могут менять знак в зависимости от положения точки на окружности.

Такое представление используется при описании многих периодических процессов, например колебаний маятника, звуковых волн и электрического тока.

{"questions":[{"content":"[[fill_choice_big-1]] — это координаты точки, которая получается при повороте начального радиуса на заданный угол вдоль единичной окружности.","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["синус и косинус","синус и тангенс","косинус и котангенс","тангенс и котангенс"],"answer":0}}}]}

Свойства функций

Основное тригонометрическое тождество

Так как любая точка $(x; y)$ на единичной окружности удовлетворяет уравнению $x^2 + y^2 = 1$, а мы знаем, что $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$, то:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Это не что иное, как теорема Пифагора, записанная для прямоугольного треугольника с гипотенузой $1$.

Знаки функций по четвертям

• I четверть (0 до $\pi/2$): $x>0, y>0 \rightarrow \sin, \cos > 0$.
• II четверть ($\pi/2$ до $\pi$): $x<0, y>0 \rightarrow \sin > 0, \cos < 0$.
• III четверть ($\pi$ до $3\pi/2$): $x<0, y<0 \rightarrow \sin < 0, \cos < 0$.
• IV четверть ($3\pi/2$ до $2\pi$): $x>0, y<0 \rightarrow \sin < 0, \cos > 0$.

Четность

• Косинус — четная функция: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. (Отражение по горизонтали не меняет $x$.)
• Синус — нечетная функция: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. (Отражение меняет знак $y$.)

Периодичность

Пройдя полный круг ($2\pi$ радиан или $360^\circ$), мы возвращаемся в ту же самую точку $(x; y)$.

• $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha$, где $k$ — любое целое число. Это значит, что функции не имеют «конца» и «начала», они бесконечно повторяют свои значения.
• Для тангенса и котангенса наименьший положительный период равен $\pi$.

Ограниченность

В отличие от линейной функции $y=kx+b$, которая может уходить в бесконечность, синус и косинус «заперты» в жесткие рамки.

• $\tan \alpha$ не определен, когда $\cos \alpha = 0 \implies \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
• $\cot \alpha$ не определен, когда $\sin \alpha = 0 \implies \alpha = \pi k$.
• $-1 \le \sin \alpha \le 1$ и $-1 \le \cos \alpha \le 1$.
• Вспомните, что это координаты точки на единичной окружности. Окружность не может «вытянуться» за пределы своего радиуса $R=1$. Это дает нам мощный инструмент для анализа уравнений. Если вы видите уравнение $\sin x = 5$, вы сразу, без вычислений, отвечаете: «Корней нет, система не может выйти за границы своего радиуса».

{"questions":[{"content":"Дополните основное тригонометрическое тождество: <br /><br />[[fill_choice_big-16]]$ + \\cos^2 \\alpha = 1$","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sin^2 \\alpha$","$\\sin^2 2\\alpha$","$\\sin \\alpha$","$\\sin 2\\alpha$"],"answer":0}}}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Определите знак выражения $\\cos(220^\\circ) \\cdot \\sin(150^\\circ)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Положительный","Отрицательный","Равен нулю","Знак определить невозможно без вычислений"],"explanations":["","","","Знак можно определить по четвертям, не вычисляя значения."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Определим, в каких четвертях находятся углы $220^\\circ$ и $150^\\circ$.","В III четверти $\\cos$ отрицательный, во II четверти $\\sin$ положительный.","Знак произведения $\\cos(220^\\circ) < 0$, $\\sin(150^\\circ) > 0$.<br />Следовательно $(-) \\cdot (+) = (-)$."]}]}

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Известно, что $\\sin \\alpha = -\\frac{3}{5}$, угол $\\alpha$ находится в IV четверти.<br>Найдите $\\cos \\alpha$: [[fill_choice_big-114]]","widgets":{"fill_choice_big-114":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{4}{5}$","$-\\frac{4}{5}$","$\\frac{3}{5}$","$-\\frac{3}{5}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["По основному тригонометрическому тождеству $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1$.","Найдем $\\cos^2\\alpha=1-\\sin^2\\alpha=1-\\left(\\frac{3}{5}\\right)^2=1-\\frac{9}{25}=\\frac{16}{25}$.","В IV четверти $\\cos\\alpha>0$, значит $\\cos\\alpha=\\frac{4}{5}$."]}]}

Часто задаваемые вопросы