Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

На прошлом уроке мы расширили наше представление о тригонометрии, перейдя от градусов к радианной мере угла. Мы увидели, что радиан — это естественный способ измерения поворота точки на единичной окружности, связывающий длину дуги с радиусом. Также мы вспомнили определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые теперь зависят не от углов треугольника, а от координат точки $(x; y)$ на единичной окружности.

Однако до сих пор мы рассматривали эти функции как изолированные величины. Сегодня мы сделаем следующий шаг: установим алгебраические связи между ними. В этом уроке вы научитесь выражать одни тригонометрические функции через другие. Позже эти формулы станут основным инструментом при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений.

Основные теоретические соотношения

Для любого угла $\alpha$, координаты точки на единичной окружности определяются как $P(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Все дальнейшие связи вытекают из определения этой окружности и свойств прямоугольного треугольника.

Для начала повторим фундамент, заложенный на прошлом уроке. Эти базовые определения — база, без которой невозможно построение дальнейших связей.

Основное тригонометрическое тождество

Поскольку уравнение окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$, прямая подстановка координат дает нам равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Это выражение — прямое следствие теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза является радиусом окружности и равна $1$.

Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом

В прошлом уроке мы определили, что тангенс — это отношение ординаты к абсциссе ($\frac{y}{x}$), а котангенс — отношение абсциссы к ординате ($\frac{x}{y}$).

• $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (определен при $\cos \alpha \neq 0$).
• $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (определен при $\sin \alpha \neq 0$).

Перемножив дроби $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, мы получаем единицу после сокращения, при условии, что обе функции определены. Это подтверждает, что тангенс и котангенс являются взаимно обратными операциями для одного и того же угла.

Производные тождества (связь через квадрат)

Эти формулы позволяют находить тангенс или котангенс, зная только косинус или синус соответственно.

• Через косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
  Разделим обе части основного тождества. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ на $\cos^2 \alpha$:$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \text{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
• Через синус: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
  Разделим обе части основного тождества. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ на $\sin^2 \alpha$:$$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \Rightarrow 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}.$$

Исторический факт

Мало кто задумывается, что эти формулы — не просто строчки в учебнике, а закономерности, по которым человечество тысячи лет рассчитывало свои перемещения по планете.

Древнегреческий астроном Гиппарх (II век до н. э.), которого считают отцом тригонометрии, составил первую в истории таблицу хорд (прообраз современных таблиц синусов). Гиппарх не знал формулы $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ в том виде, в каком мы пишем ее сегодня, но он фактически использовал эти геометрические соотношения для расчетов движения небесных тел и составления первых звездных карт.

Представьте: у вас нет GPS, нет калькулятора, а вокруг — бескрайний океан или пустыня. Все, что у вас есть — это положение звезд над головой и знание того, как стороны треугольника связаны между собой. Древние мореплаватели и картографы использовали «тригонометрические связи» (по сути, те же тождества), чтобы по одной измеренной тени от столба вычислить расстояние до горизонта или широту места, где они находятся.

{"questions":[{"content":"$1 + \\tan^2\\alpha =$ [[fill_choice_big-3]] (при $\\cos\\alpha \\ne 0$).","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}$","$\\dfrac{1}{\\sin^2\\alpha}$","$\\cos^2\\alpha$","$\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha$"],"answer":0}},"hints":["Разделите тождество $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$ на $\\cos^2\\alpha$."]}],"mix":1}

Практика

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите $\\tg\\alpha$, если $\\cos\\alpha=0{,}8$ и $\\alpha$ — угол IV четверти.<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{3}{4}$","$\\frac{3}{4}$","$-\\frac{4}{3}$","$\\frac{4}{3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В IV четверти $\\cos\\alpha>0$, а $\\sin\\alpha<0$.","Найдем $\\sin\\alpha$ из тождества $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1$: $\\sin\\alpha=-\\sqrt{1-0{,}8^2}$.","Вычислим $\\tg\\alpha=\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$: $\\tg\\alpha=\\frac{-0{,}6}{0{,}8}=-0{,}75=-\\frac{3}{4}$."]}]}

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"$\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{4}{3}$ и $\\pi<\\alpha<\\frac{3\\pi}{2}$. Найдите $\\sin\\alpha$ и $\\cos\\alpha$.[[matcher-180]]","widgets":{"matcher-180":{"type":"matcher","labels":["$\\sin\\alpha$","$\\cos\\alpha$"],"items":["$-\\frac{4}{5}$","$-\\frac{3}{5}$","$\\frac{2}{5}$","$\\frac{3}{5}$","$-\\frac{1}{2}$"]}},"step":1,"hints":["Используем формулу: $$1+\\operatorname{tg}^2\\alpha=\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}.$$","Подставим значение тангенса: $$1+\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2=\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}$$ $$1+\\frac{16}{9}=\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}$$ $$\\frac{25}{9}=\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}.$$","Отсюда: $$\\cos^2\\alpha=\\frac{9}{25}$$ $$\\cos\\alpha=\\pm\\frac{3}{5}.$$<br />Так как $\\pi<\\alpha<\\frac{3\\pi}{2}$, угол находится в III четверти. В III четверти косинус отрицательный, значит: $$\\cos\\alpha=-\\frac{3}{5}.$$","Теперь найдём синус через формулу: $$\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}.$$","Отсюда: $$\\sin\\alpha=\\operatorname{tg}\\alpha\\cdot\\cos\\alpha$$ $$\\sin\\alpha=\\frac{4}{3}\\cdot\\left(-\\frac{3}{5}\\right)$$ $$\\sin\\alpha=-\\frac{4}{5}.$$"]}]}

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"instruction":"Упростите выражение","content":"$$\\frac{1-\\cos^2\\alpha}{1-\\sin^2\\alpha}$$<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\tg^2\\alpha$","$\\ctg^2\\alpha$","$-\\tg^2\\alpha$","$\\sin\\alpha\\cos\\alpha$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заменим $1-\\cos^2\\alpha$ и $1-\\sin^2\\alpha$ по основному тригонометрическому тождеству.","После замены получим дробь вида $\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha}$.","Используем определение $\\tg\\alpha=\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$, чтобы получить ответ: $\\tg^2\\alpha$."]}]}

Часто задаваемые вопросы