Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений. Формулы приведения

Преобразование тригонометрических выражений позволяет заменять одни тригонометрические функции другими и упрощать вычисления. Особую роль здесь играют формулы приведения — соотношения, которые связывают значения тригонометрических функций различных углов.

Цель нашего урока — научиться преобразовывать тригонометрические функции произвольного аргумента к функциям острого угла и понять принцип, на котором основаны эти преобразования.

В основе всех формул приведения лежит симметрия единичной окружности. При изменении аргумента на угол, кратный $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$), изменяется положение точки на окружности. В зависимости от этого тригонометрическая функция либо сохраняется, либо заменяется соответствующей кофункцией (синусом или косинусом), а ее знак определяется четвертью, в которой расположен угол.

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить значения тригонометрических функций углов вида $(\pi k \pm \alpha)$ или $(\frac{\pi}{2}(2k+1) \pm \alpha)$ через функции угла $\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Универсальный алгоритм

Вместо заучивания десятков формул применяется двухшаговое правило:

1. Определение знака исходной функции. Предполагая, что угол $\alpha$ является острым ($1$-я четверть), определяется, в какой четверти лежит исследуемый аргумент. Исходной функции приписывается знак ($+$ или $-$), который она имеет в этой четверти.
2. Определение типа функции:
   • Если в формуле содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ ($180^\circ$ или $360^\circ$), то есть опорные точки лежат на горизонтальной оси $OX$, то функция не меняется.
   • Если в формуле содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ ($90^\circ$ или $270^\circ$), то есть опорные точки лежат на вертикальной оси $OY$, то функция меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$).

Таблица опорных переходов

Геометрическая интерпретация на единичной окружности

Для более глубокого понимания формул приведения необходимо рассмотреть, как именно преобразуются координаты точки на единичной окружности при поворотах на углы, кратные $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$).

Пусть угол $\alpha$ находится в первой четверти. Ему соответствует точка $M_1(x_1; y_1)$, где:

• $x_1 = \cos \alpha$,
• $y_1 = \sin \alpha$.

Повернем точку $M_1$, соответствующую углу $\alpha$, на угол $\frac{\pi}{2}$. Получим точку $M_2$, соответствующую углу $\frac{\pi}{2}+\alpha$ и расположенную во второй четверти.

• Абсцисса точки $M_2$ становится равной по модулю ординате точки $M_1$, но меняет знак на минус: $x_2 = -y_1$.
• Ордината точки $M_2$ становится равной по модулю абсциссе точки $M_1$: $y_2 = x_1$.

Подставляя тригонометрические функции, получаем строгое геометрическое доказательство:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$$

Этот же принцип симметрии и равенства треугольников работает для всех остальных опорных точек ($\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$).

Связь формул приведения с четностью и периодичностью тригонометрических функций

Формулы приведения основаны на двух важных свойствах тригонометрических функций: периодичности и четности.

Периодичность

Синус и косинус имеют период $2\pi$ ($360^\circ$). Это означает, что после полного оборота по единичной окружности их значения повторяются:

$$ \sin(2\pi k+\alpha)=\sin\alpha,$$

$$ \cos(2\pi k+\alpha)=\cos\alpha,\qquad k\in\mathbb{Z}. $$

У тангенса и котангенса период в два раза меньше — $\pi$ ($180^\circ$). Поэтому

$$ \operatorname{tg}(\pi+\alpha)=\operatorname{tg}\alpha. $$

Именно благодаря периодичности в формулах приведения можно прибавлять или вычитать целые периоды, не изменяя значения функции.

Четность

Косинус — четная функция, а синус, тангенс и котангенс — нечетные:

$$ \cos(-\alpha)=\cos\alpha, $$

$$ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. $$

Это свойство особенно полезно, когда перед скобками появляется знак минус. Например, выражение $(\alpha-\pi)$ можно представить как $-(\pi-\alpha)$, а затем воспользоваться четностью или нечетностью функции:

$$ \sin(\alpha-\pi)=\sin\bigl(-(\pi-\alpha)\bigr)=-\sin(\pi-\alpha)=-\sin\alpha. $$

Таким образом, периодичность позволяет изменять аргумент на целое число периодов, а четность — правильно учитывать знак при отрицательном аргументе. Вместе эти свойства лежат в основе большинства формул приведения.

{"questions":[{"instruction":"Упростите выражение","content":"$\\sin\\left(\\pi+\\alpha\\right)=$ [[fill_choice_big-3]].","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\sin\\alpha$","$-\\sin\\alpha$","$\\cos\\alpha$","$-\\cos\\alpha$"],"answer":1}},"step":1,"hints":["Представим, что $\\pi+\\alpha$ получается поворотом на $\\pi$ радиан от угла $\\alpha$: синус при таком повороте меняет знак.","Используем формулу приведения: $\\sin(\\pi+x)=-\\sin x$. Тогда $\\sin(\\pi+\\alpha)=-\\sin\\alpha$."]}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"instruction":"Упростите выражение","content":"$\\cos\\left(\\pi-\\alpha\\right)\\cdot\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}+\\alpha\\right)$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\sin^2\\alpha$","$-\\cos^2\\alpha$","$-\\frac{1}{2}\\sin 2\\alpha$","$\\frac{1}{2}\\sin 2\\alpha$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Приведем каждую функцию к аргументу $\\alpha$: $\\cos(\\pi-\\alpha)$ и $\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}+\\alpha\\right)$ выражаются через $\\sin\\alpha$ или $\\cos\\alpha$.","Используем формулы: $\\cos(\\pi-x)=-\\cos x$ и $\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)=\\cos x$.","После приведения получим произведение $(-\\cos\\alpha)\\cdot(\\cos\\alpha)$, то есть $-\\cos^2\\alpha$."]}]}

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"instruction":"Соотнесите тригонометрические выражения с равными им выражениями","content":"[[matcher-180]]","widgets":{"matcher-180":{"type":"matcher","labels":["$\\cos\\left(\\pi-\\alpha\\right)$","$\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}+\\alpha\\right)$"],"items":["$-\\cos\\alpha$","$\\cos\\alpha$","$-\\sin\\alpha$"]}},"step":1,"hints":["Вспомним формулы приведения для аргументов вида $\\pi\\pm\\alpha$ и $\\frac{\\pi}{2}\\pm\\alpha$.","Проверим знак: у косинуса при замене $\\pi-\\alpha$ появляется минус, а у синуса при $\\pi-\\alpha$ знак сохраняется.","Получаем: $\\cos(\\pi-\\alpha)=-\\cos\\alpha$, $\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}+\\alpha\\right)=\\cos\\alpha$."]},{"instruction":"Соотнесите тригонометрические выражения с равными им выражениями","content":"[[matcher-214]]","widgets":{"matcher-214":{"type":"matcher","labels":["$\\tan\\left(\\pi+\\alpha\\right)$","$\\sin\\left(\\pi-\\alpha\\right)$"],"items":["$\\tan\\alpha$","$\\sin\\alpha$","$\\cos\\alpha$"]}},"step":1,"hints":["Вспомним формулы приведения для аргументов вида $\\pi\\pm\\alpha$.","Проверим знак: у косинуса при замене $\\pi-\\alpha$ появляется минус, а у синуса при $\\pi-\\alpha$ знак сохраняется.","Получаем: $\\tan(\\pi+\\alpha)=\\tan\\alpha$, $\\sin(\\pi-\\alpha)=\\sin\\alpha$."]}]}

Часто задаваемые вопросы