8 класс Алгебра Рациональные дроби Сумма и разность дробей

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Содержание

В уроке «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» доли были одного размера, и дроби складывались счетом долей. Теперь знаменатели разные: $\frac{3}{x^2-4}$ и $\frac{1}{x+2}$. Научимся находить наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, складывать и вычитать такие дроби и сокращать результат.

Вопрос на весь урок: автомобиль ехал в поселок со скоростью $90$ км/ч, а обратно — $60$ км/ч. Средняя скорость кажется равной $75$ км/ч, но это неверно. Ответ требует сложить две дроби с разными знаменателями — он в последнем разделе.

Доли разного размера не складываются счетом

Возьмем две одинаковые полосы. Первую разрежем на $2$ доли и закрасим одну: это $\frac{1}{2}$. Вторую разрежем на $3$ доли и закрасим одну: это $\frac{1}{3}$. Сложить закраску счетом не получится: доли разного размера, и «$1+1=2$ доли» ничего не значит — две доли чего?

Выход — разрезать обе полосы одинаково мелко. Сетка из $6$ долей подходит обеим: половина — это $3$ шестых, треть — это $2$ шестых. Теперь доли одного размера, и их можно сосчитать: $3+2=5$ шестых.

Общая сетка: полоса из 2 долей (закрашена 1) и полоса из 3 долей (закрашена 1) переложены на сетку из 6 долей — 3 доли и 2 доли, всего 5; 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 — Общая сетка из 6 долей: половина стала 3 долями, треть — 2 долями, и теперь их можно сосчитать: 5 шестых

На языке дробей это выглядит так:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}+\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Каждую дробь мы умножили на свой множитель и в числителе, и в знаменателе — по основному свойству дроби из урока «Основное свойство дроби. Сокращение дробей». Половину умножили на $3$: сетка стала в $3$ раза мельче, и закрашенных долей стало в $3$ раза больше. Треть умножили на $2$.

Определение

Наименьший общий знаменатель дробей — наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей. В модели это общая сетка с наименьшим числом долей (доли в ней самые крупные), в которую укладываются обе дроби.

Дополнительный множитель дроби — то, на что нужно умножить ее знаменатель, чтобы получить общий. На него же умножают и числитель.

Пример

Задача. Сложите $\frac{1}{4}+\frac{1}{10}$.

Решение. Произведение $4\cdot10=40$ подходит как общий знаменатель, но сетка из $40$ долей слишком мелкая. Перебираем кратные большего знаменателя: $10$ не делится на $4$, а $20$ делится. Наименьший общий знаменатель — $20$.

Дополнительные множители: $20:4=5$ и $20:10=2$.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{10}=\frac{1\cdot5}{20}+\frac{1\cdot2}{20}=\frac{5+2}{20}=\frac{7}{20}$$

Ответ: $\frac{7}{20}$.

Обратите внимание

Со знаменателем $40$ ответ тоже получится верным: $\frac{10+4}{40}=\frac{14}{40}$. Но эту дробь придется сокращать, а с буквами сокращение громоздкой дроби — главный источник ошибок. Поэтому ищем именно наименьший общий знаменатель.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке доли $\\dfrac{1}{4}$ и $\\dfrac{1}{6}$ разного размера. На сколько долей разрезать прямоугольник, чтобы обе уложились целым числом долей?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wzxwb8wxvn5u.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$","$6$","$10$","$24$"],"explanations":["","$6$ не делится на $4$: доля $\\dfrac{1}{4}$ не уложится целым числом","Сумма знаменателей не делится ни на $4$, ни на $6$","Произведение $4\\cdot6$ подходит, но это не наименьшая общая сетка: $12$ тоже делится на $4$ и на $6$"],"answer":[0]}},"hints":["Нужна сетка, которая делится и на $4$, и на $6$ долей.","Наименьшее такое число — $12$: $\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{3}{12}$, $\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{2}{12}$.","Ответ: $12$."],"step":1}],"mix":1}

Общая сетка для букв: каждая буква в наибольшей степени

Пусть знаменатели — $x$ и $x^2$. Размер долей зависит от $x$, поэтому подставим число. При $x=3$ первая полоса разрезана на $3$ доли, вторая — на $9$. Сетка из $9$ долей подходит обеим: $9$ делится на $3$. Разрезать на $27=3\cdot9$ долей можно, но незачем — это уже не наименьшая сетка.

Знаменатели x и x² при x = 3: полоса из 3 долей, полоса из 9 долей (общая сетка: 9 делится на 3) и лишняя полоса из 27 долей со штриховкой ошибки — При x = 3 сетка из 9 долей уже подходит обеим дробям: 9 делится на 3. Сетка из 27 долей — лишняя

Так же и с буквами: $x^2$ делится на $x$, поэтому наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ равен $x^2$, а не $x^3$. Дополнительный множитель первой дроби — $x$ (на него умножаем и числитель, и знаменатель), второй — $1$.

Правило

Наименьший общий знаменатель одночленов составляют так:

числовые коэффициенты — наименьшее общее кратное, как для чисел;

каждую букву берут в наибольшей из степеней, в которых она встречается в знаменателях.

Дополнительный множитель дроби — частное от деления общего знаменателя на ее знаменатель.

Знаменатели	Наименьший общий знаменатель	Дополнительные множители
$x$ и $x^2$	$x^2$ (не $x^3$)	$x$ и $1$
$4y$ и $6y^2$	$12y^2$ (не $24y^3$)	$3y$ и $2$
$2a$ и $3b$	$6ab$	$3b$ и $2a$
$x-3$ и $3-x$	$x-3$ (не произведение)	$1$ и $-1$

Пример

Задача. Выполните вычитание: $\frac{3}{4y}-\frac{1}{6y^2}$.

Решение. Коэффициенты $4$ и $6$: наименьшее общее кратное $12$. Буква $y$ в наибольшей степени — $y^2$. Общий знаменатель $12y^2$.

Дополнительные множители: $12y^2:4y=3y$ и $12y^2:6y^2=2$. Умножаем на них числители:

$$\frac{3}{4y}-\frac{1}{6y^2}=\frac{3\cdot3y}{12y^2}-\frac{1\cdot2}{12y^2}=\frac{9y-2}{12y^2}$$

Проверка. При $y=1$: слева $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$, справа $\frac{9-2}{12}=\frac{7}{12}$. Совпало.

Ответ: $\frac{9y-2}{12y^2}$.

{"questions":[{"content":"Наименьший общий знаменатель дробей $\\dfrac{1}{y^3}$ и $\\dfrac{2}{y^5}$ равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2y^5$","$y^3$","$y^8$","$y^5$"],"answer":3}},"hints":["Общая сетка — наименьшая, в которую укладываются обе: $y^5$ делится на $y^3$.","Берут каждую букву в наибольшей степени.","Ответ: $y^5$."],"step":1},{"content":"Дроби $\\dfrac{a}{10b}$ и $\\dfrac{c}{15b^3}$ приводят к знаменателю $30b^3$. Какие дополнительные множители?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$15b^3$ и $10b$","$3$ и $2$","$3b^2$ и $2$","$2$ и $3b^2$"],"explanations":["Это знаменатели-произведения $150b^4$, а не наименьший $30b^3$","Для $10b$ не хватает букв: $10b\\cdot3=30b$, а нужно $30b^3$","","Множители перепутаны местами: $10b\\cdot2=20b$"],"answer":[2]}},"hints":["Дополнительный множитель — на что умножить знаменатель, чтобы получить $30b^3$.","$10b\\cdot3b^2=30b^3$, $15b^3\\cdot2=30b^3$.","Ответ: $3b^2$ и $2$."],"step":1},{"content":"Приведите дроби к общему знаменателю: $\\dfrac{2}{x}+\\dfrac{5}{x^2}=\\dfrac{\\ldots}{x^2}$. Впишите числитель суммы (например, 3x+1). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2x+5","2x + 5","5+2x","5 + 2x"]}},"hints":["Общий знаменатель $x^2$; дополнительный множитель первой дроби — $x$.","Первый числитель: $2\\cdot x$, второй остается $5$.","Числитель: $2x+5$."],"step":1}],"mix":1}

Знаменатель-многочлен: сначала разложить на множители

Вернемся к дробям из введения: $\frac{3}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}$. Чтобы увидеть, из каких «полос» состоит сетка $x^2-4$, разложим его на множители по формуле разности квадратов из урока «Разность квадратов»: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Теперь видно: множитель $x+2$ уже есть в первом знаменателе. Значит, $(x-2)(x+2)$ делится и на $x^2-4$, и на $x+2$ — это и есть наименьший общий знаменатель.

Дополнительный множитель первой дроби — $1$, второй — $x-2$. Умножаем числитель второй дроби на $x-2$ и складываем числители.

Три панели для 3/(x² − 4) + 1/(x + 2): разложить x² − 4 = (x − 2)(x + 2); общий знаменатель (x − 2)(x + 2) — каждый множитель один раз, запись (x² − 4)(x + 2) зачеркнута; дополнительные множители 1 и (x − 2) — Три панели: разложить знаменатель → общий знаменатель собран из множителей → дополнительный множитель — то, чего не хватает каждой дроби

Алгоритм

Шаг 1. Разложите знаменатели на множители (вынесите общий множитель, примените формулу).

Шаг 2. Составьте наименьший общий знаменатель: каждый множитель в наибольшей степени.

Шаг 3. Найдите дополнительный множитель каждой дроби и умножьте на него числитель.

Шаг 4. Сложите или вычтите числители; вычитаемый числитель — в скобках.

Шаг 5. Сократите результат и проверьте подстановкой числа.

Пример

Задача. Выполните сложение: $\frac{3}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}$.

Шаг 1. $x^2-4=(x-2)(x+2)$; второй знаменатель $x+2$ уже не раскладывается.

Шаг 2. Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$.

Шаг 3. Дополнительные множители: $1$ и $x-2$.

Шаг 4.

$$\frac{3}{(x-2)(x+2)}+\frac{1\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3+x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}$$

Шаг 5. Числитель $x+1$ не имеет общих множителей со знаменателем — сокращать нечего. Проверка при $x=1$: слева $\frac{3}{1-4}+\frac{1}{3}=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$, справа $\frac{2}{(-1)\cdot3}=-\frac{2}{3}$. Совпало.

Ответ: $\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}$.

Ошибка

Как ошибаются. Для $\frac{3}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}$ берут общий знаменатель произведением $(x^2-4)(x+2)$, не разложив. Либо находят верный знаменатель $(x-2)(x+2)$, но дополнительный множитель $x-2$ записывают только под чертой: $\frac{3+1}{(x-2)(x+2)}=\frac{4}{(x-2)(x+2)}$.

Проверка на числах. При $x=1$ сумма равна $-\frac{2}{3}$ (пример выше). А дробь $\frac{4}{(x-2)(x+2)}$ при $x=1$ равна $\frac{4}{(-1)\cdot3}=-\frac{4}{3}$. Не совпало — значит, это не сумма.

Где ломается рассуждение. Умножить только знаменатель на $x-2$ — значит разрезать сетку мельче, а закраску оставить прежней: дробь уменьшилась в $x-2$ раз. По основному свойству на дополнительный множитель умножают и числитель, и знаменатель. А произведение $(x^2-4)(x+2)$ — сетка, в которой множитель $x+2$ взят дважды: ответ получится верным, но громоздким, и его придется сокращать.

Ошибка: полоса 1/2; полоса из 6 долей с 1 закрашенной — сетку измельчили в 3 раза, закраску не тронули (ошибка, штриховка); полоса из 6 долей с 3 закрашенными — закраску тоже умножили на 3; 1/2 = 3/6, а не 1/6 — Сетку измельчили в 3 раза, а закраску не тронули — получилась 1 шестая вместо половины. Умножаем и закраску: 3 шестых

a8-slozhenie-drobej-raznye-znamenateli-obshchij-znamenatel

{"questions":[{"content":"Найдите наименьший общий знаменатель дробей $\\dfrac{3}{x}$ и $\\dfrac{1}{x+2}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x(x+2)$","$2x+2$","$x^2+2$","$x+2$"],"explanations":["","Знаменатели не складывают: нужно произведение","Умножение дает $x^2+2x$, а не $x^2+2$","$x+2$ не делится на $x$: первая дробь не уложится"],"answer":[0]}},"hints":["Знаменатели $x$ и $x+2$ не имеют общих множителей.","Общая сетка — их произведение.","Ответ: $x(x+2)$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги сложения $\\dfrac{5}{x^2-9}+\\dfrac{1}{x+3}$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разложить: $x^2-9=(x-3)(x+3)$","Теперь видно: общий знаменатель — $(x-3)(x+3)$","Отсюда дополнительный множитель второй дроби — $x-3$","Затем сложить числители: $5+(x-3)=x+2$"]}},"hints":["Сначала раскладывают знаменатели.","Затем выбирают общий и дополнительные множители.","Ответ: разложить → общий знаменатель → дополнительный множитель → сложить числители."],"step":1}],"mix":1}

Целое выражение — тоже дробь

Как вычесть $b-\frac{b^2}{b+1}$? У второго слагаемого есть знаменатель, у первого как будто нет. В модели целое выражение $b$ — это $b$ целых прямоугольников; каждый — одна доля из одной, поэтому $b=\frac{b}{1}$. Запишем $b=\frac{b}{1}$ — и перед нами две дроби с разными знаменателями $1$ и $b+1$.

Общий знаменатель — $b+1$ (он делится на $1$). Дополнительный множитель целого — весь знаменатель дроби: $b+1$. Умножаем на него числитель $b$.

Целое как дробь: при b = 3 три целых прямоугольника (каждый — 1 доля из 1) разрезаны каждый на 4 доли, закрашено 12 из 12 долей; 3·4/4 = 12/4 = 3 — При b = 3 целое — три прямоугольника, каждый 1 доля из 1. Разрежем каждый на 4 доли: 3·4/4 = 12/4 = 3 — сетка мельче в 4 раза, закрашенных долей в 4 раза больше

Правило

Целое выражение складывают с дробью (или вычитают) как дробь со знаменателем $1$:

$$a+\frac{A}{B}=\frac{a\cdot B+A}{B},\qquad a-\frac{A}{B}=\frac{a\cdot B-A}{B}$$

Дополнительный множитель целого слагаемого — весь знаменатель $B$; числитель $A$ при вычитании берут в скобках.

Пример

Задача. Представьте в виде дроби: $b-\frac{b^2}{b+1}$.

Решение. $b=\frac{b}{1}$; общий знаменатель $b+1$; дополнительный множитель целого — $b+1$:

$$b-\frac{b^2}{b+1}=\frac{b(b+1)-b^2}{b+1}=\frac{b^2+b-b^2}{b+1}=\frac{b}{b+1}$$

Проверка. При $b=1$: слева $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, справа $\frac{1}{2}$. Совпало. Если бы целое не умножили на $b+1$, получилось бы $\frac{b-b^2}{b+1}$, а это при $b=1$ равно $0$ — неверно.

Ответ: $\frac{b}{b+1}$.

{"questions":[{"content":"Представьте в виде дроби: $a+\\dfrac{3}{a}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a+3}{a}$","$\\dfrac{4a}{a}$","$\\dfrac{3a}{a}$","$\\dfrac{a^2+3}{a}$"],"explanations":["Целое слагаемое не умножили на дополнительный множитель $a$","Числитель $3$ — число, его не складывают с $a$","Сумму заменили произведением",""],"answer":[3]}},"hints":["Целое выражение — это дробь со знаменателем $1$: $\\dfrac{a}{1}$.","Дополнительный множитель $a$: $\\dfrac{a\\cdot a+3}{a}$.","Ответ: $\\dfrac{a^2+3}{a}$."],"step":1},{"content":"Выполните вычитание: $2a-\\dfrac{a^2-1}{a}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a^2+1}{1}$","$\\dfrac{2a^2-a^2-1}{a}$","$\\dfrac{2a-a^2+1}{a}$","$\\dfrac{a^2+1}{a}$"],"explanations":["Знаменатель $a$ потерян: общий знаменатель — $a$","Скобки при вычитании потеряны: $-(a^2-1)=-a^2+1$","Целое $2a$ не умножено на дополнительный множитель $a$",""],"answer":[3]}},"hints":["Целое выражение — дробь со знаменателем $1$; дополнительный множитель — $a$.","Числитель: $2a\\cdot a-(a^2-1)=2a^2-a^2+1$.","Ответ: $\\dfrac{a^2+1}{a}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

После сложения: сократить и проверить

Сложение не заканчивается на общем знаменателе. Числитель результата может иметь общий множитель со знаменателем — тогда доли склеиваются обратно в более крупные, и дробь сокращается. Поэтому последний шаг алгоритма всегда один: сократить и проверить подстановкой.

Пример

Задача. Упростите $\frac{5}{a^2+5a}-\frac{1}{a}$.

Шаг 1. $a^2+5a=a(a+5)$ — вынесли общий множитель.

Шаг 2. Общий знаменатель $a(a+5)$: множитель $a$ в нем уже есть.

Шаг 3. Дополнительные множители: $1$ и $a+5$.

Шаг 4. Вычитаемый числитель — в скобках:

$$\frac{5}{a(a+5)}-\frac{1\cdot(a+5)}{a(a+5)}=\frac{5-(a+5)}{a(a+5)}=\frac{5-a-5}{a(a+5)}=\frac{-a}{a(a+5)}$$

Шаг 5. Сокращаем на $a$ и выносим минус перед дробью: $-\frac{1}{a+5}$. Проверка при $a=1$: слева $\frac{5}{6}-1=-\frac{1}{6}$, справа $-\frac{1}{6}$. Совпало.

Ответ: $-\frac{1}{a+5}$.

Пример

Задача. Упростите $\frac{4}{m-5}+\frac{m}{5-m}$.

Решение. Знаменатели противоположны: $5-m=-(m-5)$, поэтому общий знаменатель уже есть — $m-5$, перемножать не нужно. Выносим минус перед дробью:

$$\frac{4}{m-5}+\frac{m}{5-m}=\frac{4}{m-5}-\frac{m}{m-5}=\frac{4-m}{m-5}$$

Проверка. При $m=6$: слева $\frac{4}{1}+\frac{6}{-1}=-2$, справа $\frac{4-6}{1}=-2$. Совпало.

Ответ: $\frac{4-m}{m-5}$.

Теперь вопрос из введения. Пусть расстояние до поселка — $S$ км. Туда ехали $\frac{S}{90}$ ч, обратно — $\frac{S}{60}$ ч. Средняя скорость — это весь путь, деленный на все время, поэтому сначала сложим время:

$$\frac{S}{90}+\frac{S}{60}=\frac{2S}{180}+\frac{3S}{180}=\frac{5S}{180}=\frac{S}{36}$$

Общий знаменатель здесь $180$ (а не $90\cdot60=5400$), и в конце дробь сократилась на $5$. Весь путь $2S$ км проехали за $\frac{S}{36}$ ч, значит, средняя скорость равна $2S:\frac{S}{36}=2S\cdot\frac{36}{S}=72$ км/ч. Не $75$: на медленном участке автомобиль провел больше времени, и это время «тянет» среднюю скорость вниз. Ответ не зависит от $S$ — подставьте $S=180$: $2$ ч и $3$ ч, $360$ км за $5$ ч, те же $72$ км/ч.

Шаг	Что делаем	В модели долей
1	Разложить знаменатели	Увидеть, из каких полос собрана сетка
2	Наименьший общий знаменатель	Общая сетка с наименьшим числом долей
3	Дополнительные множители — в числители	Мельче сетка — больше закрашенных долей
4	Сложить числители (вычитаемый — в скобках)	Сосчитать доли одного размера
5	Сократить, проверить подстановкой	Склеить доли обратно; сравнить с числами

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $\\dfrac{x}{x+2}+\\dfrac{2x}{x^2+2x}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+2}{x(x+2)}$","$\\dfrac{3}{x+2}$","$1$","$\\dfrac{3x}{x+2}$"],"explanations":["Вторую дробь сократили, а знаменатель оставили $x(x+2)$: после сокращения он $x+2$","Первую дробь не домножили на $x$: $\\dfrac{x+2x}{x(x+2)}=\\dfrac{3}{x+2}$","","Числители $x$ и $2x$ сложены, не сократив вторую дробь: так не получится"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите: $x^2+2x=x(x+2)$; вторая дробь сокращается на $x$: $\\dfrac{2}{x+2}$.","Складываем: $\\dfrac{x+2}{x+2}$.","Ответ: $1$."],"step":1},{"content":"Решавр сложил: $\\dfrac{2}{a}+\\dfrac{1}{a^3}=\\dfrac{2+1}{a^3}=\\dfrac{3}{a^3}$. Проверьте при $a=1$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Общий знаменатель должен быть $a^4$","Числитель первой дроби не умножен на $a^2$: верно $\\dfrac{2a^2+1}{a^3}$","Верно $\\dfrac{3}{a+a^3}$","Ошибки нет: при $a=1$ все сходится"],"explanations":["$a^3$ делится на $a$, наименьшая общая сетка — $a^3$","","Знаменатели не складывают","Одна подстановка не доказывает; при $a=2$ слева $\\dfrac{9}{8}$, справа $\\dfrac{3}{8}$"],"answer":[1]}},"hints":["При $a=1$: слева $2+1=3$, справа $3$ — совпало; проверьте еще $a=2$: слева $\\dfrac{2}{2}+\\dfrac{1}{8}=\\dfrac{9}{8}$, справа $\\dfrac{3}{8}$.","Первую дробь домножили на $a^2$ только в знаменателе: числитель должен стать $2a^2$.","Верно: $\\dfrac{2a^2+1}{a^3}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Дроби с разными знаменателями — это доли разного размера, и сложить их можно только на общей сетке. Сетка должна быть наименьшей: для одночленов — каждая буква в наибольшей степени, для многочленов — сначала разложить и взять каждый множитель один раз. Переходя на мелкую сетку, умножаем на дополнительный множитель и знаменатель, и числитель; целое выражение — дробь со знаменателем $1$. В конце сокращаем и проверяем подстановкой числа. Этот прием понадобится сразу: в задачах на среднюю скорость и совместную работу, при упрощении выражений и в уравнениях с дробями.

Как вспомнить: «общая сетка — закраску тоже домножить — сосчитать — склеить обратно».

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя просто перемножить знаменатели — ответ же получается верным?

Равенство действительно верное, но дробь выходит сократимой, а сокращать громоздкий числитель с буквами трудно и легко ошибиться. Для $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ произведение дает $\frac{x^2+x}{x^3}$, а наименьший знаменатель $x^2$ — сразу несократимое $\frac{x+1}{x^2}$.

Как найти общий знаменатель, если в знаменателе квадратный трехчлен, например $x^2+5x+6$?

Разложите его на множители по корням, как в уроке «Корни квадратного трехчлена и разложение его на множители»: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Дальше все как с разностью квадратов: общий знаменатель собирают из множителей, каждый берут один раз в наибольшей степени.

Что делать, если знаменатели противоположны: $x-3$ и $3-x$?

Перемножать их не нужно: $3-x=-(x-3)$, поэтому у дробей по сути один знаменатель. Вынесите минус перед второй дробью (или в ее числитель) и действуйте как с одинаковыми знаменателями.

Можно ли проверить ответ одной подстановкой?

Одна подстановка ловит ошибку, но не доказывает, что ошибок нет: при неудачном числе неверный ответ может случайно совпасть. Если сомневаетесь, подставьте второе число. И выбирайте то, при котором знаменатели не обращаются в нуль.

Зачем брать вычитаемый числитель в скобки?

Минус перед дробью относится ко всему числителю. Без скобок меняется знак только у первого слагаемого: $5-(a+5)=-a$, а $5-a+5=10-a$ — это другое выражение. Проверка при $a=1$ сразу показывает разницу.

Награды за урок