Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сопоставьте пару знаменателей с их наименьшим общим знаменателем. Одна карточка лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$4a$ и $6a$","$a^2$ и $a^3$","$b$ и $b+1$","$c-3$ и $3-c$"],"items":["$12a$","$a^3$","$b(b+1)$","$c-3$","$(c-3)(3-c)$"]}},"instruction":"Соедините пару знаменателей с общим","hints":["Наименьший общий знаменатель — наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей.","$12a$ делится на $4a$ и $6a$; $a^3$ делится на $a^2$; $b$ и $b+1$ общих множителей не имеют — берут произведение; $3-c=-(c-3)$ — общий знаменатель уже есть.","Ответ: $4a$ и $6a$ — $12a$; $a^2$ и $a^3$ — $a^3$; $b$ и $b+1$ — $b(b+1)$; $c-3$ и $3-c$ — $c-3$. Карточка $(c-3)(3-c)$ лишняя."],"step":1},{"id":"1","content":"Сопоставьте пару знаменателей с их наименьшим общим знаменателем. Одна карточка лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$9m$ и $6m$","$m^3$ и $m^5$","$k$ и $k+1$","$d-3$ и $3-d$"],"items":["$18m$","$m^5$","$k(k+1)$","$d-3$","$(d-3)(3-d)$"]}},"instruction":"Соедините пару знаменателей с общим","hints":["Наименьший общий знаменатель — наименьшее выражение, которое делится на каждый из знаменателей.","$18m$ делится на $9m$ и $6m$; $m^5$ делится на $m^3$; $k$ и $k+1$ общих множителей не имеют — берут произведение; $3-d=-(d-3)$ — общий знаменатель уже есть.","Ответ: $9m$ и $6m$ — $18m$; $m^3$ и $m^5$ — $m^5$; $k$ и $k+1$ — $k(k+1)$; $d-3$ и $3-d$ — $d-3$. Карточка $(d-3)(3-d)$ лишняя."],"step":1},{"id":"2","content":"Наименьший общий знаменатель дробей $\\dfrac{1}{a^2b}$ и $\\dfrac{1}{ab^3}$ равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$a^3b^4$","$a^2b^3$","$ab$","$a^2b^2$"],"answer":1}},"hints":["Каждую букву берут в наибольшей из степеней.","$a^2b^3$ делится и на $a^2b$, и на $ab^3$.","Ответ: $a^2b^3$."],"step":1},{"id":"2","content":"Наименьший общий знаменатель дробей $\\dfrac{1}{m^3n}$ и $\\dfrac{1}{mn^2}$ равен [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$m^3n$","$m^4n^3$","$mn$","$m^3n^2$"],"answer":3}},"hints":["Каждую букву берут в наибольшей из степеней.","$m^3n^2$ делится и на $m^3n$, и на $mn^2$.","Ответ: $m^3n^2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Выполните сложение: $\\dfrac{2}{x}+\\dfrac{3}{x+1}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5x+3}{x(x+1)}$","$\\dfrac{5}{x(x+1)}$","$\\dfrac{5x+2}{x(x+1)}$","$\\dfrac{5}{2x+1}$"],"explanations":["Дополнительные множители перепутаны: первый числитель умножен на $x$, второй — на $x+1$","Числители сложены без дополнительных множителей","","Знаменатели сложены, а не приведены к общему"],"answer":[2]}},"hints":["Общий знаменатель $x(x+1)$.","Дополнительные множители: $x+1$ и $x$ — умножьте на них числители.","Ответ: $\\dfrac{5x+2}{x(x+1)}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Выполните сложение: $\\dfrac{4}{y}+\\dfrac{1}{y-2}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5}{y(y-2)}$","$\\dfrac{5}{2y-2}$","$\\dfrac{5y-2}{y(y-2)}$","$\\dfrac{5y-8}{y(y-2)}$"],"explanations":["Числители сложены без дополнительных множителей","Знаменатели сложены, а не приведены к общему","Дополнительные множители перепутаны: первый числитель умножен на $y$, второй — на $y-2$",""],"answer":[3]}},"hints":["Общий знаменатель $y(y-2)$.","Дополнительные множители: $y-2$ и $y$ — умножьте на них числители.","Ответ: $\\dfrac{5y-8}{y(y-2)}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Выполните сложение: $\\dfrac{3}{a-2}+\\dfrac{a}{2-a}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3-a}{a-2}$","$\\dfrac{a-3}{a-2}$","$\\dfrac{3+a}{a-2}$","$\\dfrac{3+a}{(a-2)(2-a)}$"],"explanations":["","Минус поставлен не у того слагаемого","Минус потерян: $\\dfrac{C}{b-a}=-\\dfrac{C}{a-b}$","Противоположные знаменатели не перемножают — общий знаменатель уже есть"],"answer":[0]}},"hints":["$2-a=-(a-2)$: у дробей по сути один знаменатель.","Перенесите минус в числитель второй дроби и вычтите.","Ответ: $\\dfrac{3-a}{a-2}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Выполните сложение: $\\dfrac{5}{b-1}+\\dfrac{b}{1-b}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5+b}{b-1}$","$\\dfrac{5+b}{(b-1)(1-b)}$","$\\dfrac{5-b}{b-1}$","$\\dfrac{b-5}{b-1}$"],"explanations":["Минус потерян: $\\dfrac{C}{b-a}=-\\dfrac{C}{a-b}$","Противоположные знаменатели не перемножают — общий знаменатель уже есть","","Минус поставлен не у того слагаемого"],"answer":[2]}},"hints":["$1-b=-(b-1)$: у дробей по сути один знаменатель.","Перенесите минус в числитель второй дроби и вычтите.","Ответ: $\\dfrac{5-b}{b-1}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Представьте в виде дроби: $x-\\dfrac{4}{x+1}$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x^2+x-4}{x+1}$","$\\dfrac{x^2-4}{x+1}$","$\\dfrac{x-4}{x+1}$","$\\dfrac{x^2+x+4}{x+1}$"],"explanations":["","Скобка раскрыта не полностью: потеряно слагаемое","Целое не умножено на дополнительный множитель","Знак вычитаемого перепутан"],"answer":[0]}},"hints":["Запишите $x$ как $\\dfrac{x}{1}$ и умножьте числитель и знаменатель на $x+1$.","Раскройте скобки в числителе и вычтите.","Ответ: $\\dfrac{x^2+x-4}{x+1}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Представьте в виде дроби: $2y-\\dfrac{3}{y-1}$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2y^2-2y-3}{y-1}$","$\\dfrac{2y^2-3}{y-1}$","$\\dfrac{2y^2-2y+3}{y-1}$","$\\dfrac{2y-3}{y-1}$"],"explanations":["","Скобка раскрыта не полностью: потеряно слагаемое","Знак вычитаемого перепутан","Целое не умножено на дополнительный множитель"],"answer":[0]}},"hints":["Запишите $2y$ как $\\dfrac{2y}{1}$ и умножьте числитель и знаменатель на $y-1$.","Раскройте скобки в числителе и вычтите.","Ответ: $\\dfrac{2y^2-2y-3}{y-1}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{2x}$ при $x=4$. Ответ запишите через косую черту, например 3/7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3/8","0,375","0.375"]}},"hints":["Общий знаменатель $2x$; первую дробь домножьте на $2$.","Сумма: $\\dfrac{2+1}{2x}$.","При $x=4$: $\\dfrac{3}{8}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{3x}$ при $x=2$. Ответ запишите через косую черту, например 3/7. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2/3"}},"hints":["Общий знаменатель $3x$; первую дробь домножьте на $3$.","Сумма: $\\dfrac{3+1}{3x}$.","При $x=2$: $\\dfrac{2}{3}$."],"step":1},{"id":"7","content":"Упростите: $\\dfrac{1}{x^2-x}+\\dfrac{1}{x^2+x}$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$","$\\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$","$\\dfrac{2x}{x(x-1)(x+1)}$","$\\dfrac{2}{x^2}$"],"explanations":["Числитель посчитан неверно: $(x+1)+(x-1)=2x$, после сокращения остается $2$","","Дробь не сокращена: числитель и знаменатель делятся на $x$","Слагаемые в знаменателях отброшены: $x^2-x$ не равно $x^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Вынесите общий множитель: знаменатели равны $x(x-1)$ и $x(x+1)$.","Общий знаменатель $x(x-1)(x+1)$; складываем числители: $(x+1)+(x-1)=2x$.","Сократите на $x$. Ответ: $\\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Упростите: $\\dfrac{1}{y^2-2y}+\\dfrac{1}{y^2+2y}$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{1}{(y-2)(y+2)}$","$\\dfrac{2}{y^2}$","$\\dfrac{2}{(y-2)(y+2)}$","$\\dfrac{2y}{y(y-2)(y+2)}$"],"explanations":["Числитель посчитан неверно: $(y+2)+(y-2)=2y$, после сокращения остается $2$","Слагаемые в знаменателях отброшены: $y^2-2y$ не равно $y^2$","","Дробь не сокращена: числитель и знаменатель делятся на $y$"],"answer":[2]}},"hints":["Вынесите общий множитель: знаменатели равны $y(y-2)$ и $y(y+2)$.","Общий знаменатель $y(y-2)(y+2)$; складываем числители: $(y+2)+(y-2)=2y$.","Сократите на $y$. Ответ: $\\dfrac{2}{(y-2)(y+2)}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Выполните вычитание $\\dfrac{3}{x}-\\dfrac{2}{x+5}$ и запишите числитель результата (например, в виде 2x+3). [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["x+15","x + 15","15+x","15 + x"]}},"hints":["Общий знаменатель $x(x+5)$.","Числитель: $3(x+5)-2x$ — раскройте скобки.","Ответ: $x+15$."],"step":1},{"id":"8","content":"Выполните вычитание $\\dfrac{4}{y}-\\dfrac{3}{y+2}$ и запишите числитель результата (например, в виде 2x+3). [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["y+8","y + 8","8+y","8 + y"]}},"hints":["Общий знаменатель $y(y+2)$.","Числитель: $4(y+2)-3y$ — раскройте скобки.","Ответ: $y+8$."],"step":1},{"id":"9","content":"Автомобиль ехал из города в поселок со скоростью $60$ км/ч, а обратно той же дорогой — со скоростью $40$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути (в км/ч). [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Средняя скорость — весь путь, деленный на все время. Пусть путь в одну сторону $S$.","Время: $\\dfrac{S}{60}+\\dfrac{S}{40}=\\dfrac{40S+60S}{2400}=\\dfrac{100S}{2400}$.","$\\dfrac{2S}{\\frac{100S}{2400}}=\\dfrac{2\\cdot2400}{100}=48$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Автомобиль ехал из города в поселок со скоростью $30$ км/ч, а обратно той же дорогой — со скоростью $20$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути (в км/ч). [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Средняя скорость — весь путь, деленный на все время. Пусть путь в одну сторону $S$.","Время: $\\dfrac{S}{30}+\\dfrac{S}{20}=\\dfrac{20S+30S}{600}=\\dfrac{50S}{600}$.","$\\dfrac{2S}{\\frac{50S}{600}}=\\dfrac{2\\cdot600}{50}=24$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр сложил: $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{x^3}=\\dfrac{x^3+x}{x^4}$. Что не так?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ окончательный","Общий знаменатель должен быть $x+x^3$","Нужен знаменатель $x^3$: дробь сократима","Числитель должен быть $2$"],"explanations":["Дробь сокращается на $x$: ответ не несократимый, а общий знаменатель — $x^3$","Знаменатели не складывают: общая сетка — та, что делится на оба","","Дополнительные множители обязаны попасть в числители; $2$ получилось бы без них"],"answer":[2]}},"hints":["Результат верный как равенство, но знаменатель $x^4$ — произведение, а не наименьший общий.","$x^3$ делится на $x$: наименьший общий знаменатель — $x^3$.","Дробь Решавра сокращается; несократимый ответ: $\\dfrac{x^2+1}{x^3}$ — записать нужно его."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр сложил: $\\dfrac{1}{y^2}+\\dfrac{1}{y^5}=\\dfrac{y^5+y^2}{y^7}$. Что не так?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Общий знаменатель должен быть $y^2+y^5$","Нужен знаменатель $y^5$: дробь сократима","Числитель должен быть $2$","Ошибки нет, ответ окончательный"],"explanations":["Знаменатели не складывают: общая сетка — та, что делится на оба","","Дополнительные множители обязаны попасть в числители; $2$ получилось бы без них","Дробь сокращается на $y^2$: ответ не несократимый, а общий знаменатель — $y^5$"],"answer":[1]}},"hints":["Результат верный как равенство, но знаменатель $y^7$ — произведение, а не наименьший общий.","$y^5$ делится на $y^2$: наименьший общий знаменатель — $y^5$.","Дробь Решавра сокращается; несократимый ответ: $\\dfrac{y^3+1}{y^5}$ — записать нужно его."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>