Задание 12. Исследование функций

{"questions":[{"content":"Найдите точку максимума функции $y=\\ln(x+5)-2x+10.$[[image-153]][[fill_choice_big-298]]","widgets":{"image-153":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/01/kostyum-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-298":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4.5$","$1.5$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+5>0$$ $$x>-5$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{1}{x+5}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\\frac{1}{x+5}-2=0$$ $$\\frac{1}{x+5}=2$$ $$1=2x+10$$ $$2x=-9$$ $$x=-4.5$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-5;-4.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4.5;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-4.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\\ln(x+5)-2x+10.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=\\ln(x+6)-4x+8.$[[fill_choice_big-404]][[image-533]]","widgets":{"fill_choice_big-404":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5.75$","$-1.5$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/pisatel-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+6>0$$ $$x>-6$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{1}{x+6}-4$$ Приравняем производную к нулю: $$\\frac{1}{x+6}-4=0$$ $$\\frac{1}{x+6}=4$$ $$1=4x+24$$ $$4x=-23$$ $$x=-5.75$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;-5.75),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-5.75;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-5.75$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\\ln(x+6)-4x+8.$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-4\\ln(x+7)+6$$ на отрезке $[-6.5;0].$[[fill_choice_big-1205]][[image-1372]]","widgets":{"fill_choice_big-1205":{"type":"fill_choice_big","options":["$-18$","$12$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_break.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\\frac{4}{x+7}=0$$ $$\\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=4x-4\\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\\cdot(-6)-4\\ln(-6+7)+6=-18$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-9\\ln(x+11)+20$$ на отрезке $[-10.5;0].$[[fill_choice_big-1643]][[image-1830]]","widgets":{"fill_choice_big-1643":{"type":"fill_choice_big","options":["$-70$","$46$","$-11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1830":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_v-stresse.svg","width":"300"}},"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+11>0$$ $$x>-11$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=9-\\frac{9}{x+11}$$ Приравняем производную к нулю: $$9-\\frac{9}{x+11}=0$$ $$\\frac{9}{x+11}=9$$ $$9=9x+99$$ $$9x=-90$$ $$x=-10$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-10.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-10.5;-10),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-10;0].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-10$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=9x-9\\ln(x+11)+20$ в данной точке: $$y=9\\cdot(-10)-9\\ln(-10+11)+20=-70$$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=2x^2-13x+9\\ln{x}+8.$[[image-3685]][[fill_choice_big-3713]]","widgets":{"image-3685":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_ozadachennyj.svg","width":"300"},"fill_choice_big-3713":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\\cup(2.25;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\\ln{x}+8.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\\ln{x}+5.$[[fill_choice_big-3930]][[image-3971]]","widgets":{"fill_choice_big-3930":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$5$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3971":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/robot-fantastika.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=x-27+\\frac{50}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$x-27+\\frac{50}{x}=0$$ $$x^2-27x+50=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=25$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;2)\\cup(25;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(2;25).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=2$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\\ln{x}+5.$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=(x+3)^2(x+5)-2$$ на отрезке $[-4;-1].$[[fill_choice_big-4536]][[image-4663]]","widgets":{"fill_choice_big-4536":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-4663":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/globus-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x+3)(x+5)+(x+3)^2$$ $$f'(x)=(x+3)(3x+13)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x+3)(3x+13)=0$$ $$x_1=-3$$ $$x_2=-\\frac{13}{3}$$ Промежутку $[-4;-1]$ принадлежит только $x=-3.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-4;-1]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-4;-3),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-3;-1].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-3$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=(x+3)^2(x+5)-2$ в данной точке: $$y=(-3+3)^2(-3+5)-2=-2$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-7)^2(x+8)-4$$ на отрезке $[1;12].$[[fill_choice_big-4958]][[image-5105]]","widgets":{"fill_choice_big-4958":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$7$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-5105":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/vertolet-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=4\\tg{x}-4x-\\pi+5$$ на отрезке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}].$[[fill_choice_big-2963]][[image-3302]]","widgets":{"fill_choice_big-2963":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3302":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{4}{\\cos^2x}-4$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}]$: $$\\frac{4}{\\cos^2x}-4=0$$ $$\\frac{1}{\\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.","Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\\frac{\\pi}{4}.$","Найдем значение функции $y=4\\tg{x}-4x-\\pi+5$ в данной точке: $$y=4\\tg\\Big({-\\frac{\\pi}{4}}\\Big)-4\\cdot \\Big( -\\frac{\\pi}{4}\\Big)-\\pi+5=1$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=12\\tg{x}-12x-3\\pi+18$$ на отрезке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}].$[[fill_choice_big-251]][[image-278]]","widgets":{"fill_choice_big-251":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-278":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/uborka-klass-shkola-venik-podmetaet-2.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{12}{\\cos^2x}-12$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}]$: $$\\frac{12}{\\cos^2x}-12=0$$ $$\\frac{1}{\\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.","Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\\frac{\\pi}{4};\\frac{\\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\\frac{\\pi}{4}.$","Найдем значение функции $y=12\\tg{x}-12x-3\\pi+18$ в данной точке: $$y=12\\tg{\\Big(-\\frac{\\pi}{4}\\Big)}-12\\cdot \\Big(-\\frac{\\pi}{4}\\Big)-3\\pi+18=6$$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $$y=(2x-3)\\cos{x}-2\\sin{x}+3$$ принадлежащую промежутку $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big).$[[image-339]][[fill_choice_big-517]]","widgets":{"image-339":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kniga_nauka-chitaet-molekuly-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-517":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2\\cos{x}-(2x-3)\\sin{x}-2\\cos{x}$$ $$f'(x)=-(2x-3)\\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big)$:$$-(2x-3)\\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big)$ $\\sin{x}>0.$ Значит: $$-(2x-3)=0$$ $$x=1.5$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1.5;\\frac{\\pi}{2}).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $1.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(2x-3)\\cos{x}-2\\sin{x}+3.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $$y=(4x-1)\\cos{x}-4\\sin{x}+7$$ принадлежащую промежутку $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big).$[[image-360]][[fill_choice_big-640]]","widgets":{"image-360":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazhi-razgovarivayut.svg","width":"300"},"fill_choice_big-640":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4\\cos{x}-(4x-1)\\sin{x}-4\\cos{x}$$ $$f'(x)=-(4x-1)\\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big)$:$$-(4x-1)\\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\\Big(0;\\frac{\\pi}{2}\\Big)$ $\\sin{x}>0.$ Значит: $$-(4x-1)=0$$ $$x=0.25$$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0.25$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(4x-1)\\cos{x}-4\\sin{x}+7.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$[[fill_choice_big-909]][[image-996]]","widgets":{"fill_choice_big-909":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$9$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-996":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/divan-torsher-kniga-chitaet-kgigu.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+8}+(8-x)e^{x+8}$$ $$f'(x)=e^{x+8}(7-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+8}(7-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+8}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$7-x=0$$ $$x=7$$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(8-x)e^{x+8}.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$[[image-1117]][[fill_choice_big-1162]]","widgets":{"image-1117":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_nauka-chitaet-obrazavr-01-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1162":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$11$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-e^{x+11}+(11-x)e^{x+11}$$ $$f'(x)=e^{x+11}(10-x)$$ Найдем нули производной: $$e^{x+11}(10-x)=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но $e^{x+11}$ при любом значении $x$ будет больше нуля. Значит: $$10-x=0$$ $$x=10$$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(11-x)e^{x+11}.$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-2)^2e^{x-2}$$ на отрезке $[1;4].$[[fill_choice_big-505]][[image-644]]","widgets":{"fill_choice_big-505":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-644":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/teacher.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-2)e^{x-2}+(x-2)^2e^{x-2}$$ $$f'(x)=e^{x-2}(2(x-2)+(x-2)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)(2+x-2)$$ $$f'(x)=e^{x-2}(x-2)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-2}(x-2)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=2$$ На отрезке $[1;4]$ лежит только точка $x=2.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;4],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[1;2).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $2$ — это точка минимума функции на отрезке $[1;4].$","Найдем значение функции $y=(x-2)^2e^{x-2}$ в данной точке: $$y=(2-2)^2e^{2-2}=0$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-15)^2e^{x-15}$$ на отрезке $[13.5;24].$[[fill_choice_big-771]][[image-1068]]","widgets":{"fill_choice_big-771":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$2$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1068":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-15)e^{x-15}+(x-15)^2e^{x-15}$$ $$f'(x)=e^{x-15}(2(x-15)+(x-15)^2)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)(15+x-15)$$ $$f'(x)=e^{x-15}(x-15)x$$ Найдем нули производной: $$e^{x-15}(x-15)x=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=15$$ На отрезке $[13.5;24]$ лежит только точка $x=15.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(15;24],$ $f'(x)<0$ на промежутке $[13.5;15).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $15$ — это точка минимума функции на отрезке $[13.5;15].$","Найдем значение функции $y=(x-15)^2e^{x-15}$ в данной точке: $$y=(15-15)^2e^{15-15}=0$$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$[[fill_choice_big-1581]][[image-1764]]","widgets":{"fill_choice_big-1581":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1764":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pishet-formuly-na-doske-doska.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(2x-10)e^{5-x}-(x^2-10x+10)e^{5-x}$$ $$f'(x)=e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$ Найдем нули производной: $$e^{5-x}(-x^2+12x-20)=0$$ $$x^2-12x+20=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=10$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;10),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\\infty;2)\\cup(10;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $10$ — это точка максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x} .$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$[[fill_choice_big-1927]][[image-2114]]","widgets":{"fill_choice_big-1927":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$2$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2114":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pishet-formuly-na-doske-doska2-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=(10x-35)e^{13-x}-(5x^2-35x+35)e^{13-x}$$ $$f'(x)=e^{13-x}(-5x^2+45x-70)$$ Найдем нули производной: $$e^{13-x}(-5x^2+45x-70)=0$$ $$x^2-9x+14=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=2$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(2;7),$ $f'(x)<0$ на промежутках $(-\\infty;2)\\cup(7;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $7$ — это точка максимума функции $y=(5x^2-35x+35)e^{13-x} .$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите точку минимума функции $y=\\frac{2}{3}x^{\\frac{3}{2}}-2x+1.$[[fill_choice_big-1]][[image-9]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/function-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{2}{3} \\cdot \\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}-2=\\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\\sqrt{x}-2=0$$ $$\\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\\frac{2}{3}x^{\\frac{3}{2}}-2x+1.$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=\\frac{1}{3}x^{\\frac{3}{2}}-3x+14.$[[fill_choice_big-42]][[image-69]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$-6$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-69":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/kalkulyator2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}-3=\\frac{1}{2}\\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\\frac{1}{2}\\sqrt{x}-3=0$$ $$\\frac{1}{2}\\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\\frac{1}{3}x^{\\frac{3}{2}}-3x+14.$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=-\\frac{2}{3}x^{\\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;23].$[[fill_choice_big-202]][[image-249]]","widgets":{"fill_choice_big-202":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$9$","$-5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-249":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2-5.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\\frac{2}{3}\\cdot \\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\\sqrt{x}=0$$ $$\\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.","Найдем значение функции $y=-\\frac{2}{3}x^{\\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\\frac{2}{3}\\cdot 9^{\\frac{3}{2}}+3\\cdot 9+1=10$$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=-\\frac{4}{3}x^{\\frac{3}{2}}+12x+20$ на отрезке $[36;43].$[[fill_choice_big-388]][[image-455]]","widgets":{"fill_choice_big-388":{"type":"fill_choice_big","options":["$164$","$6$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-455":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\\frac{4}{3}\\cdot \\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\\sqrt{x}=0$$ $$2\\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\\infty).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.","Найдем значение функции $y=-\\frac{4}{3}x^{\\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\\frac{4}{3} \\cdot 36^{\\frac{3}{2}}+12 \\cdot 36+20=164$$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=x\\sqrt{x}-3x+1.$[[image-277]][[fill_choice_big-395]]","widgets":{"image-277":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pterodaktil-uchenyj-mikroskop-uchenyj-himik-himiya.svg","width":"300"},"fill_choice_big-395":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим произведение $x\\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\\frac{3}{2}\\sqrt{x}-3=0$$ $$\\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\\sqrt{x}-3x+1.$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=x\\sqrt{x}-30x+31.$[[image-601]][[fill_choice_big-632]]","widgets":{"image-601":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/doska-magnitnaya-molekula.svg","width":"300"},"fill_choice_big-632":{"type":"fill_choice_big","options":["$400$","$140$","$550$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим произведение $x\\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\\frac{3}{2}x^{\\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\\frac{3}{2}\\sqrt{x}-30=0$$ $$\\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$","Функция и ее производная определены на интервале $[0;\\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\\sqrt{x}-30x+31.$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $$y=12 \\cos{x}+6\\sqrt{3}x-2\\sqrt{3} \\pi+6$$ на отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}].$[[fill_choice_big-1205]][[image-1372]]","widgets":{"fill_choice_big-1205":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$-18$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl_3_klass_papa_uchitel.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\\sin{x}+6\\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}]$: $$-12\\sin{x}+6\\sqrt{3}=0$$ $$\\sin{x}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\\frac{\\pi}{3}.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\\frac{\\pi}{3};\\frac{\\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\\frac{\\pi}{3}).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\\frac{\\pi}{3}$ — это точка максимума функции.","Найдем значение функции $y=12 \\cos{x}+6\\sqrt{3}x-2\\sqrt{3} \\pi+6$ в данной точке: $$y=12 \\cos{\\frac{\\pi}{3}}+6\\sqrt{3}\\cdot \\frac{\\pi}{3}-2\\sqrt{3} \\pi+6=12$$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $$y=16 \\cos{x}+8\\sqrt{3}x-\\frac{8\\sqrt{3}\\pi}{3}+4$$ на отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}].$[[fill_choice_big-1643]][[image-1830]]","widgets":{"fill_choice_big-1643":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$5$","$-11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1830":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/arhitektor-stroitel-doska-chertezh-rulon-bumaga-3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\\sin{x}+8\\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}]$: $$-16\\sin{x}+8\\sqrt{3}=0$$ $$\\sin{x}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\\frac{\\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\\frac{\\pi}{3}.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\\frac{\\pi}{3};\\frac{\\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\\frac{\\pi}{3}).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\\frac{\\pi}{3}$ — это точка максимума функции.","Найдем значение функции $y=16 \\cos{x}+8\\sqrt{3}x-\\frac{8\\sqrt{3}\\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \\cos{\\frac{\\pi}{3}}+8\\sqrt{3}\\cdot \\frac{\\pi}{3}-\\frac{8\\sqrt{3}\\pi}{3}+4= 12$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=7 \\sin{x}-8x+9$$ на отрезке $[-\\frac{3\\pi}{2};0].$[[fill_choice_big-2651]][[image-2818]]","widgets":{"fill_choice_big-2651":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$5$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2818":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/mudrecz-kolonna-atom.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=7\\cos{x}-8$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\\frac{3\\pi}{2};0]$: $$7\\cos{x}-8=0$$ $$\\cos{x}=\\frac{8}{7}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.","Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\\frac{3\\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$","Найдем значение функции $y=7 \\sin{x}-8x+9$ в данной точке: $$y=7 \\sin{0}-8 \\cdot 0+9=9$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $$y=48 \\sin{x}-101x+60$$ на отрезке $[-\\frac{3\\pi}{2};0].$[[fill_choice_big-2963]][[image-3302]]","widgets":{"fill_choice_big-2963":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$75$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3302":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/do-homework.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=48\\cos{x}-101$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\\frac{3\\pi}{2};0]$: $$48\\cos{x}-101=0$$ $$\\cos{x}=\\frac{101}{48}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.","Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\\frac{3\\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$","Найдем значение функции $y=48 \\sin{x}-101x+60$ в данной точке: $$y=48 \\sin{0}-101 \\cdot 0+60=60$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите точку минимума функции $y=x^3-48x+17.$[[fill_choice_big-1]][[image-9]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/parabola-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-48$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-48=0$$ $$x^2-16=0$$ $$x_1=4$$ $$x_2=-4$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\\infty;-4)\\cup(4;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4;-4).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-48x+17.$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=x^3-588x-17.$[[fill_choice_big-42]][[image-69]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$-14$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-69":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/obrazavr_giperbola-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-588$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-588=0$$ $$x^2-196=0$$ $$x_1=14$$ $$x_2=-14$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\\infty;-14)\\cup(14;\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-14;-14).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $14$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-588x-17.$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10].$[[fill_choice_big-202]][[image-249]]","widgets":{"fill_choice_big-202":{"type":"fill_choice_big","options":["$108$","$54$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-249":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\\infty;0)\\cup(6;\\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.","Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\\cdot 6^2-6^3=108$$"]},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ на отрезке $[-3;2].$[[fill_choice_big-388]][[image-455]]","widgets":{"fill_choice_big-388":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$108$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-455":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/big-x-concept-v3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\\infty;-16)\\cup(0;\\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.","Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\\cdot 0^2-0^3+4=4$$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$[[image-153]][[fill_choice_big-298]]","widgets":{"image-153":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_knigi-ruchka-karandash-drobi-stol-krivye.svg","width":"300"},"fill_choice_big-298":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$1$","$2.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\\frac{1}{3}$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\\infty;-1)\\cup(-\\frac{1}{3};\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\\frac{1}{3}).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$"]},{"content":"Найдите точку максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$[[fill_choice_big-404]][[image-533]]","widgets":{"fill_choice_big-404":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$-1$","$-2.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-533":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/doska-magnitnaya.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\\frac{1}{3}$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\\infty;1)\\cup(2\\frac{1}{3};\\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\\frac{1}{3}).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=-\\frac{x^2+1}{x}.$[[image-277]][[fill_choice_big-395]]","widgets":{"image-277":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/sitting-on-books-v2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-395":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\\frac{1}{x^2}=0$$ $$\\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\\infty;-1)\\cup(1;\\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\\frac{x^2+1}{x}.$"]},{"content":"Найдите точку минимума функции $y=-\\frac{x^2+441}{x}.$[[image-601]][[fill_choice_big-632]]","widgets":{"image-601":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/shestirenki-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-632":{"type":"fill_choice_big","options":["$-21$","$11$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\\frac{441}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\\frac{441}{x^2}=0$$ $$\\frac{441}{x^2}=1$$ $$x^2=441$$ $$x_1=21$$ $$x_2=-21$$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\\infty;-21)\\cup(21;\\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-21;21).$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=-21$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\\frac{x^2+441}{x}.$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=x+\\frac{36}{x}$ на отрезке $[1;9].$[[fill_choice_big-1205]][[image-1372]]","widgets":{"fill_choice_big-1205":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$-18$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/iskusstvennyi-intellekt3-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=1-\\frac{36}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$1-\\frac{36}{x^2}=0$$ $$\\frac{36}{x^2}=1$$ $$x^2=36$$ $$x_1=6$$ $$x_2=-6$$ На отрезке $[1;9]$ лежит только точка $x=6.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(6;9].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=6$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=x+\\frac{36}{x}$ в данной точке: $$y=6+\\frac{36}{6}=12$$"]},{"content":"Найдите наименьшее значение функции $y=2x+\\frac{288}{x}+11$ на отрезке $[0.5;20].$[[fill_choice_big-1643]][[image-1830]]","widgets":{"fill_choice_big-1643":{"type":"fill_choice_big","options":["$59$","$46$","$-11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1830":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2-\\frac{288}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$2-\\frac{288}{x^2}=0$$ $$\\frac{288}{x^2}=2$$ $$x^2=144$$ $$x_1=12$$ $$x_2=-12$$ На отрезке $[0.5;20]$ лежит только точка $x=12.$","С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[0.5;12),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(12;20].$","На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное  в точке $x=12$ — это точка минимума функции.","Найдем значение функции $y=2x+\\frac{288}{x}+11$ в данной точке: $$y=2\\cdot 12+\\frac{288}{12}+11=59$$"]}]}