Построение графика линейной функции
Линейная функция. Прямая пропорциональность
Из прошлого урока вы узнали многое о функциях. Основные понятия, которые нам будут нужны для изучения понятия «линейная функция»:
- функция – это зависимость между двумя величинами, при которой каждому значению независимой переменной $x$ соответствует одно единственное значение другой зависимой переменной $y$;
- зависимость может быть прямой и обратной;
- любая функция имеет область определения и область значений;
- графически функция может убывать и/или возрастать. Она может выглядеть как прямой, так и кривой линией.
О функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.
Линейная функция в реальной жизни
Задача
В копилке лежит $500$ рублей.
Мама дает дочке каждый день на расходы $100$ рублей. Ежедневно она тратит только $50$, а оставшиеся $50$ рублей кладет в копилку.
Постройте график, который покажет, как будет пополняться копилка.
Если девочка откладывает каждый день по $50$ рублей, через $10$ дней в копилке будет уже на $500$ рублей больше: $50\times 10$.
Всего же в копилке через $10$ дней будет $1000$ рублей: $500$ рублей накоплено за эти $10$ дней и $500$ рублей в копилке уже было изначально.
Посмотрим, сколько же будет в копилке через $20$ дней:
${50\times 20} + 500 = 1500$ рублей.
Введем обозначения:
- за функцию (зависимую переменную) $y$ обозначим общее количество денег в копилке,
- за $x$ (независимую переменную) обозначим число дней, когда откладывались деньги.
Тогда наша функция (зависимость количества денег в копилке от количества прошедших дней) будет выглядеть так:
$y = {50\times x} + 500$.
Посмотрим, как будет выглядеть график нашей функции. Для этого найдем несколько значений $y$ и заполним таблицу для $x$, например, равных $4$, $5$, $6$, $7$ (дней):
- $y_1 = {50\times 4} + 500 = 700$
- $y_2 = {50\times 5} + 500 = 750$
- $y_3 = {50\times 6} + 500 = 800$
- $y_4 = {50\times 7} + 500 = 850$.
| $x$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $700$ | $750$ | $800$ | $850$ |
По точкам с координатами $(4, 700)$; $(5, 750)$; $(6, 800)$ и $(7, 850)$ построим график:
Как видим, график функции $y = {50\times x} + 500$ выглядит как прямая линия.
Так, увеличение денег в копилке будет напрямую зависеть от количества дней, в которые она пополнялась на одну и ту же сумму.
При этом, зависимая переменная $y$ меняется на одну и ту же величину (в нашем случае ежедневное приращение суммы равно $50$ рублям).
Что такое линейная функция
Из примеров выше мы обнаружили, что зависимость, функцию которой можно найти с помощью формулы вида:
$y = kx + b$.
Данная функция называется линейной, ведь ее график выглядит как прямая линия. В данной формуле $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.
В наших случаях коэффициент $k$ был равен $50$ в примере с копилкой и $5$ в примере с ванной.
Коэффициент $b$ в описанных примерах был равен $500$ рублям, уже лежавшим в копилке, и $20$ литрам, налитым в ванну до включения крана.
Если функцию можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа, а $x$ – независимая переменная, то ее называют линейной
Числовые коэффициенты $k$ и $b$ могут быть любыми числами: целыми, дробными и даже отрицательными.
Прямая пропорциональность и другие особые случаи
Вспомним, что такое прямая пропорциональность. Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными. Они имеют прямую зависимость.
Разберем некоторые частные случаи линейной функции:
- $y = -3\times x- b$, в данном случае оба числовых коэффициента имеют отрицательные значения;
- другой пример: $y = 2-x$, здесь коэффициент $k$ равен $-1$, а $b = 2$;
- $y = 5$, тут коэффициент $k$ равен $0$, а коэффициент $b=5$ (в подобных случаях функция совсем не зависит от значения аргумента $x$, а лишь от числовой величины коэффициента $b$);
- а в функции $y = 4\times x$ коэффициент $b$ уже равен $0$ (при этом $k$ не равен нулю), такой вид функции называется прямой пропорциональностью.
Вернемся снова к нашим примерам: если бы в копилке и в ванной изначально было пусто. Функция $y$ увеличивалась бы прямо пропорционально увеличению количества потраченного на наполнение копилки или ванны времени. Коэффициент $b$ в таких случаях равен нулю.
Часто задаваемые вопросы
Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $k$k и b — некоторые числа, а x — независимая переменная.
Для построения графика достаточно найти две точки: при $x = 0$ получаем точку $(0, b)$ и при $y = 0$ получаем точку $(-\frac{k}{b}, 0)$.
Нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если равенство верно — точка принадлежит графику.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти