Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписка
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Свойства десятичных дробей

Содержание

В предыдущем уроке вы познакомились с десятичной записью дробей. Теперь в вашем распоряжении есть как обыкновенные, так и десятичные дроби.

Десятичные дроби записываются как обычные числа, но при этом сохраняют все свойства дробей. В этом уроке рассмотрим, как проявляются эти свойства, и как их применять.

Нули после запятой

У обыкновенных дробей есть основное свойство — каждая дробь имеет бесконечное количество равных ей. Например, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}$ и так далее.

Дроби $\dfrac{2}{6}$ и $\dfrac{3}{9}$ получили за счет умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. По основному свойству дроби, в таком случае получается дробь, равная данной:

$$\dfrac{1}{3}^{(\space2}=\dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{6}$$

$$\dfrac{1}{3}^{(\space3}=\dfrac{1\cdot3}{3\cdot3}=\dfrac{3}{9}$$

С десятичными дробями это работает так же. Например, десятичные дроби $0,3$ и $0,30$ равны между собой:

$$0,3=\dfrac{3}{10}=\dfrac{3\cdot10}{10\cdot10}=\dfrac{30}{100}=0,30$$

Аналогично для любых десятичных дробей:

$1,5=1,50=1,500=…$, так как $1\dfrac{5}{10}=1\dfrac{50}{100}=1\dfrac{500}{1000}=…$

Можем вывести правило:

Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей, то получится дробь, равная данной.

Понятно, что это правило работает и наоборот. Десятичные дроби $0,30$ или $1,500$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число:

$$0,30=\dfrac{30}{100}=\dfrac{\overset{3}{\cancel{30}}}{\underset{10}{\cancel{100}}}=\dfrac{3}{10}=0,3$$

Значит, нули в конце десятичной дроби можно как добавлять, так и отбрасывать:

Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной.

Дополнительно

Любое натуральное число можно представить как десятичную дробь с каким угодно количеством нулей после запятой:

$7=\dfrac{70}{10}=7,0=7,00=7,000…$

Перевод дробей

В предыдущем уроке вы уже научились переводить обыкновенные дроби в десятичные. Это были дроби со знаменателями $10,\space100,\space1000$ и так далее:

$$\dfrac{3}{10}=0,3$$

$$2\dfrac{15}{100}=2,15$$

Но можно ли перевести в десятичную форму дроби с другими знаменателями, например $\dfrac{2}{20}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{7}{15}$?

Очевидно, что сначала нужно привести эти дроби к знаменателям $10,\space100,\space1000,\space…$. Для этого дробь можно либо сократить, либо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Например, легко перевести в десятичную форму дроби $\dfrac{2}{20}$ и $\dfrac{1}{5}$:

$$\dfrac{2}{20}=\dfrac{\overset{1}{\cancel2}}{\underset{10}{\cancel{20}}}=\dfrac{1}{10}=0,1$$

$$\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}^{(2}=\dfrac{1\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{2}{10}=0,2$$

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{3}{8}$. Её уже не сократить, значит, нужен дополнительный множитель, как в случае с $\dfrac{1}{5}$.

Разложим на множители числа $10,\space100,\space1000$:

$$10=2\cdot5$$

$$100=10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5$$

$$1000=10\cdot10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5$$

Видим, что каждое из них содержит только множители $2$ и $5$, причем в равных количествах. Никаких других множителей нет.

Теперь разложим на простые множители знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$:

$$8=2\cdot4=2\cdot2\cdot2$$

Имеем три двойки. Значит, чтобы получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$, нужно добавить три пятерки. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$ на дополнительный множитель $5\cdot5\cdot5$:

$$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\cdot5\cdot5\cdot5}{8\cdot5\cdot5\cdot5}=\dfrac{375}{1000}=0,375$$

Получили десятичную дробь. Сформулируем правило:

Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной.

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{7}{15}$. При разложении знаменателя на множители получаем:

$$15=3\cdot5$$

Кроме пятерки здесь присутствует «мешающая» тройка. От неё никак не избавиться, на какие числа бы мы её не умножали.

Произведение только из двоек и пятерок здесь не получится, значит, из знаменателя $15$ нельзя получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$. Значит, дробь $\dfrac{7}{15}$ нельзя перевести в десятичную.

Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной.

Важно

Оба правила работают только для несократимых дробей. Например, дробь $\dfrac{21}{60}$ содержит в знаменателе множитель $3$, но после сокращения он исчезнет, и можно будет представить дробь в виде десятичной:

$\dfrac{21}{60}=\dfrac{\overset{7}{\cancel{21}}}{\underset{20}{\cancel{60}}}=\dfrac{7}{20}=\dfrac{7\cdot5}{20\cdot5}=\dfrac{35}{100}=0,35$

Метрическая система мер

Вы уже знаете некоторые единицы измерения, а также то, как более крупные единицы соотносятся с мелкими:

$$1\spaceсм=10\spaceмм,\space1\spaceм=100\spaceсм,\space1\spaceкм=1000\spaceм$$

$$1\spaceг=10\spaceмг,\space1\spaceкг=1000\spaceг,\space1\spaceт=1000\spaceкг$$

Теперь, имея в распоряжении десятичные дроби, единицы измерения вы можете записывать и так:

$$1\spaceмм=0,1\spaceсм,\space1\spaceсм=0,01\spaceм,\space1\spaceм=0,001\spaceкм$$

$$1\spaceмг=0,001\spaceг,\space1\spaceг=0,001\spaceкг,\space1\spaceкг=0,001\spaceт$$

Десятичные дроби появились гораздо раньше, чем привычные нам метры и граммы. Именно удобство десятичных дробей повлияло на создание современной системы мер, где каждая единица соотносится с другой в $10,\space100,\space1000$ и т. д. раз. Такая система мер называется метрической.

В этой системе десятичные соотношения между единицами измерения отражены в их названиях. Так, приставка «кило» (тысяча по-гречески) в километре или килограмме означает «в $1000$ раз больше»:

ПриставкаПроисхождениеЗначениеВо сколько разПример
кило-греч. kiloбольше$1000$$1$ километр — $1000$ метров
гекто-греч. hekatonбольше$100$$1$ гектар — $100$ ар
дека-греч. dekaбольше$10$$1$ декалитр — $10$ литров
деци-лат. decemменьше$10$$1$ дециметр — $0,1$ метра
санти-лат. centменьше$100$$1$ сантиметр — $0,01$ метра
милли-лат. mille меньше$1000$$1$ миллиграмм — $0,001$ грамма

Решение примеров

Задание 1

Запишите в виде десятичных дробей: $\dfrac{5}{8}$, $\dfrac{3}{200}$, $\dfrac{11}{125}$.

Показать решение

Закрыть

Разложим на множители знаменатель дроби $\dfrac{5}{8}$:

$8=2\cdot4=2\cdot2\cdot2$.

Имеем три двойки. Чтобы получился десятичный знаменатель, нужно взять за дополнительный множитель три пятерки:

$\dfrac{5}{8}=\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{8\cdot5\cdot5\cdot5}$.

Выполним умножение и получим десятичную дробь:

$\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{8\cdot5\cdot5\cdot5}=\dfrac{25\cdot5\cdot5}{40\cdot5\cdot5}=\dfrac{125\cdot5}{200\cdot5}=\dfrac{625}{1000}=0,625$.

Разложим на множители знаменатель дроби $\dfrac{3}{200}$:

$200=2\cdot100=2\cdot10\cdot10=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5$.

Имеем три двойки и две пятерки. Чтобы получился десятичный знаменатель, нужно взять за дополнительный множитель еще одну пятерку:

$\dfrac{3}{200}=\dfrac{3\cdot5}{200\cdot5}=\dfrac{15}{1000}=0,015$.

Разложим на множители знаменатель дроби $\dfrac{11}{125}$:

$125=5\cdot25=5\cdot5\cdot5$.

Имеем три пятерки. Чтобы получился десятичный знаменатель, нужно взять за дополнительный множитель три двойки:

$\dfrac{11}{125}=\dfrac{11\cdot2\cdot2\cdot2}{125\cdot2\cdot2\cdot2}=\dfrac{11\cdot8}{250\cdot2\cdot2}=\dfrac{88}{500\cdot2}=\dfrac{88}{1000}=0,088$.

Ответ: $0,625$, $0,015$, $0,088$.

Задание 2

Сократите дроби и запишите их в виде десятичных: $\dfrac{39}{15}$, $\dfrac{81}{75}$.

Показать решение

Закрыть

Сократим дробь $\dfrac{39}{15}$, разделив числитель и знаменатель на $3$:

$\dfrac{39}{15}=\dfrac{\overset{13}{\cancel{39}}}{\underset{5}{\cancel{15}}}=\dfrac{13}{5}$.

Имеем в знаменателе одну пятерку. Значит, чтобы перевести дробь в десятичную, нужно взять за дополнительный множитель одну двойку:

$\dfrac{13}{5}=\dfrac{13\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{26}{10}=2,6$.

Сократим дробь $\dfrac{81}{75}$, разделив числитель и знаменатель на $3$:

$\dfrac{81}{75}=\dfrac{\overset{27}{\cancel{81}}}{\underset{25}{\cancel{75}}}=\dfrac{27}{25}$.

Разложим знаменатель на множители:

$25=5\cdot5$.

Имеем в знаменателе две пятерки. Значит, чтобы перевести дробь в десятичную, нужно взять за дополнительный множитель две двойки:

$\dfrac{27}{25}=\dfrac{27\cdot2\cdot2}{25\cdot2\cdot2}=\dfrac{54\cdot2}{50\cdot2}=\dfrac{108}{100}=1,08$.

Ответ: $2,6$, $1,08$.

Задание 3

Найдите значение выражения, обратив десятичную дробь в обыкновенную:
$\dfrac{9}{20}:0,03$.

Показать решение

Закрыть

Переведем десятичную дробь $0,03$ в обыкновенную. После запятой стоят две цифры, значит, в знаменателе обыкновенной дроби будет два нуля:

$0,03=\dfrac{3}{100}$.

Выполним деление. Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую:

$\dfrac{9}{20}:\dfrac{3}{100}=\dfrac{9}{20}\cdot\dfrac{100}{3}=\dfrac{9\cdot100}{20\cdot3}$.

Сократим:

$\dfrac{\overset{3}{\cancel9}\cdot100}{20\cdot\cancel3}=\dfrac{3\cdot\overset{5}{\cancel{100}}}{\cancel{20}}=15$.

Ответ: $15$.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли отбрасывать нули справа в десятичной дроби?

Если к десятичной дроби приписать справа либо отбросить какое угодно количество нулей, то получится дробь, равная данной.

Как записать натуральное число в виде десятичной дроби?

Любое натуральное число можно представить как десятичную дробь с каким угодно количеством нулей после запятой.

Какие дроби можно перевести в десятичные?

Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ