Свойства десятичных дробей

В предыдущем уроке вы познакомились с десятичной записью дробей. Теперь в вашем распоряжении есть как обыкновенные, так и десятичные дроби.

Десятичные дроби записываются как обычные числа, но при этом сохраняют все свойства дробей. В этом уроке рассмотрим, как проявляются эти свойства, и как их применять.

Нули после запятой

У обыкновенных дробей есть основное свойство — каждая дробь имеет бесконечное количество равных ей. Например, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}$ и так далее.

Дроби $\dfrac{2}{6}$ и $\dfrac{3}{9}$ получили за счет умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. По основному свойству дроби, в таком случае получается дробь, равная данной:

$$\dfrac{1}{3}^{(\space2}=\dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{6}$$

$$\dfrac{1}{3}^{(\space3}=\dfrac{1\cdot3}{3\cdot3}=\dfrac{3}{9}$$

С десятичными дробями это работает так же. Например, десятичные дроби $0,3$ и $0,30$ равны между собой:

$$0,3=\dfrac{3}{10}=\dfrac{3\cdot10}{10\cdot10}=\dfrac{30}{100}=0,30$$

Аналогично для любых десятичных дробей:

$1,5=1,50=1,500=…$, так как $1\dfrac{5}{10}=1\dfrac{50}{100}=1\dfrac{500}{1000}=…$

Можем вывести правило:

Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей, то получится дробь, равная данной.

Понятно, что это правило работает и наоборот. Десятичные дроби $0,30$ или $1,500$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число:

$$0,30=\dfrac{30}{100}=\dfrac{\overset{3}{\cancel{30}}}{\underset{10}{\cancel{100}}}=\dfrac{3}{10}=0,3$$

Значит, нули в конце десятичной дроби можно как добавлять, так и отбрасывать:

Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной.

{"questions":[{"content":"Выберите все верные равенства.<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12,40=12,4$","$25=25,0$","$1,03=1,30$","$160=16$"],"explanations":["$12,40=12\\dfrac{40}{100}=12\\dfrac{4}{10}=12,4$","$25=\\dfrac{250}{10}=25,0$","",""],"answer":[0,1]}},"hints":["Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной.","Любое натуральное число можно представить как десятичную дробь с каким угодно количеством нулей после запятой."]}]}

Перевод дробей

В предыдущем уроке вы уже научились переводить обыкновенные дроби в десятичные. Это были дроби со знаменателями $10,\space100,\space1000$ и так далее:

$$\dfrac{3}{10}=0,3$$

$$2\dfrac{15}{100}=2,15$$

Но можно ли перевести в десятичную форму дроби с другими знаменателями, например $\dfrac{2}{20}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{7}{15}$?

Очевидно, что сначала нужно привести эти дроби к знаменателям $10,\space100,\space1000,\space…$. Для этого дробь можно либо сократить, либо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Например, легко перевести в десятичную форму дроби $\dfrac{2}{20}$ и $\dfrac{1}{5}$:

$$\dfrac{2}{20}=\dfrac{\overset{1}{\cancel2}}{\underset{10}{\cancel{20}}}=\dfrac{1}{10}=0,1$$

$$\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}^{(2}=\dfrac{1\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{2}{10}=0,2$$

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{3}{8}$. Её уже не сократить, значит, нужен дополнительный множитель, как в случае с $\dfrac{1}{5}$.

Разложим на множители числа $10,\space100,\space1000$:

$$10=2\cdot5$$

$$100=10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5$$

$$1000=10\cdot10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5$$

Видим, что каждое из них содержит только множители $2$ и $5$, причем в равных количествах. Никаких других множителей нет.

Теперь разложим на простые множители знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$:

$$8=2\cdot4=2\cdot2\cdot2$$

Имеем три двойки. Значит, чтобы получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$, нужно добавить три пятерки. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$ на дополнительный множитель $5\cdot5\cdot5$:

$$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\cdot5\cdot5\cdot5}{8\cdot5\cdot5\cdot5}=\dfrac{375}{1000}=0,375$$

Получили десятичную дробь. Сформулируем правило:

Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной.

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{7}{15}$. При разложении знаменателя на множители получаем:

$$15=3\cdot5$$

Кроме пятерки здесь присутствует «мешающая» тройка. От неё никак не избавиться, на какие числа бы мы её не умножали.

Произведение только из двоек и пятерок здесь не получится, значит, из знаменателя $15$ нельзя получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$. Значит, дробь $\dfrac{7}{15}$ нельзя перевести в десятичную.

Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной.

{"questions":[{"content":"Выберите все дроби, которые можно представить в виде десятичной.<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{30}$","$\\dfrac{5}{12}$","$\\dfrac{2}{6}$","$\\dfrac{5}{25}$"],"explanations":["$\\dfrac{3}{30}=\\dfrac{\\overset{1}{\\cancel3}}{\\underset{10}{\\cancel{30}}}=\\dfrac{1}{10}=0,1$","$12=3\\cdot2\\cdot2$ — в знаменателе присутствует множитель $3$, привести к ряду $10,\\space100,\\space1000,\\space...$ нельзя.","$\\dfrac{2}{6}=\\dfrac{1}{3}$ — в знаменателе присутствует множитель $3$, привести к ряду $10,\\space100,\\space1000,\\space...$ нельзя.","$\\dfrac{5}{25}=\\dfrac{\\overset{1}{\\cancel5}}{\\underset{5}{\\cancel{25}}}=\\dfrac{1}{5}=\\dfrac{1\\cdot2}{5\\cdot2}=\\dfrac{2}{10}=0,2$"],"answer":[0,3]}}}]}

Метрическая система мер

Вы уже знаете некоторые единицы измерения, а также то, как более крупные единицы соотносятся с мелкими:

$$1\spaceсм=10\spaceмм,\space1\spaceм=100\spaceсм,\space1\spaceкм=1000\spaceм$$

$$1\spaceг=10\spaceмг,\space1\spaceкг=1000\spaceг,\space1\spaceт=1000\spaceкг$$

Теперь, имея в распоряжении десятичные дроби, единицы измерения вы можете записывать и так:

$$1\spaceмм=0,1\spaceсм,\space1\spaceсм=0,01\spaceм,\space1\spaceм=0,001\spaceкм$$

$$1\spaceмг=0,001\spaceг,\space1\spaceг=0,001\spaceкг,\space1\spaceкг=0,001\spaceт$$

Десятичные дроби появились гораздо раньше, чем привычные нам метры и граммы. Именно удобство десятичных дробей повлияло на создание современной системы мер, где каждая единица соотносится с другой в $10,\space100,\space1000$ и т. д. раз. Такая система мер называется метрической.

В этой системе десятичные соотношения между единицами измерения отражены в их названиях. Так, приставка «кило» (тысяча по-гречески) в километре или килограмме означает «в $1000$ раз больше»:

{"questions":[{"content":"Соотнесите одинаковые величины.<br />[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$1\\spaceсм$","$1\\spaceдм$","$1\\spaceм$","$1\\spaceмм$"],"items":["$0,01\\spaceм$","$0,1\\spaceм$","$0,001\\spaceкм$","$0,1\\spaceсм$"]}},"hints":["Миллиметр — это одна десятая часть сантиметра.","Сантиметр в $100$ раз меньше метра, а дециметр — в $10$ раз.","В одном километре $1000$ метров."]}]}

Решение примеров

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Часто задаваемые вопросы