Десятичная запись дробей

Выполнять действия с дробями сложнее, чем с натуральными числами. Например, чтобы просто сложить две дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, и лишь потом сложить числители.

Сложность возникает из-за того, что в записи дроби используются сразу два натуральных числа, поэтому при выполнении действий приходится учитывать оба. Но есть дроби, которые записываются почти так же, как обычные числа. Такие дроби называются десятичными.

Разряды чисел

Нумерация, которую мы применяем в обычной жизни, называется десятичной. То есть, мы привыкли считать десятками:

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$$ $$11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$$

Каждый раз, когда при счете мы доходим до цифры $9$, то далее вместо $10$ пишем просто $0$, а единицу добавляем к высшему разряду: $19\space\to\space20$, $29\space\to\space30$ и так далее.

Из начальных классов вы помните, что разряды считают, начиная с крайнего правого. Первыми идут единицы, затем десятки, сотни, тысячи и так далее.

Единица каждого разряда (кроме разряда единиц) в $10$ раз больше предыдущего:

$100=10\cdot10$,

$1000=100\cdot10$,

$10000=1000\cdot10$.

А теперь попробуем пойти вправо, в обратную сторону от разряда единиц. Существует ли число, которое в $10$ раз меньше единицы? Конечно, это дробь $\large{\frac{1}{10}}$.
А число, которое в $10$ раз меньше, чем $\large{\frac{1}{10}}$ — это $\large{\frac{1}{100}}$.

Таким образом, дроби со знаменателями $10$, $100$, $1000$ тоже вписываются в десятичную нумерацию. И, поскольку влево разряды растут, а вправо — уменьшаются, математики придумали записывать десятичные дроби как новые разряды справа от единицы.

Здесь справа от разряда единиц идет сначала дробь $\large{\frac{5}{10}}$, затем $\large{\frac{4}{100}}$. Дробная часть отделяется запятой. Если разбить число $7343,54$ на разряды, то получим:

$$7343,54=7000+300+40+3+\frac{5}{10}+\frac{4}{100}$$

Такие дроби, как $7343,54$ называют десятичными. Цифры слева от запятой называют целой частью, а справа — дробной частью или десятичными знаками.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте цифры и разряды в десятичной дроби $93,108$.<br />[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$9$","$3$","$1$","$0$","$8$"],"items":["десятки","единицы","десятые","сотые","тысячные"]}},"hints":["Целая часть (перед запятой) здесь состоит из двух разрядов: десятков и единиц.","В дробной части (после запятой) разряды называются так же, как соответствующие дроби: десятые, сотые, тысячные."]}]}

Как записывать и читать десятичные дроби

При чтении натуральных чисел мы ориентируемся на разряды. Например, число $152$ состоит из одной сотни, пяти десятков и двух единиц, и читается соответственно: сто пятьдесят два.

Десятичные дроби тоже читаются по разрядам. Первый разряд справа от единицы соответствует дроби $\frac{1}{10}$ и называется «десятые». Вторым разрядом идут сотые ($\frac{1}{100}$), затем тысячные и так далее.

Разрядные единицы дробной части

$$\frac{1}{10},\space\frac{1}{100},\space\frac{1}{1000},\space\frac{1}{10000},\space…$$

записываются так:

$$0,1,\space0,01,\space0,001,\space0,0001,\space…$$

В целой части (слева от запятой) в них стоит ноль, поэтому они читаются как «ноль целых одна десятая», «ноль целых одна сотая», «ноль целых одна тысячная» и так далее.

Рассмотрим десятичную дробь $7,35$. В целой части находится $7$ единиц, а в дробной $3$ десятых и $5$ сотых. Можем записать это так:

$$7,35=7+\frac{3}{10}+\frac{5}{100}$$

Сложим дроби:

$$7+\frac{3}{10}^{(10}+\frac{5}{100}=7+\frac{30}{100}+\frac{5}{100}=7+\frac{35}{100}=7\frac{35}{100}$$

Получили, что десятичная дробь $7,35$ соответствует смешанной дроби $7\frac{35}{100}$.

Десятичная запись $7,35$ читается так же, как и дробь $7\frac{35}{100}$: семь целых тридцать пять сотых. При чтении мы совместили все разряды дробной части в одно число и использовали только название последнего разряда — сотые. Можно вывести правило:

При чтении десятичной дроби сначала называют ее часть, стоящую перед запятой, и добавляют слово «целых»; затем называют часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда.

Прочитаем дробь $6,8105$. Последний (четвертый) разряд здесь — десятитысячные. Значит, дробь будет читаться как шесть целых восемь тысяч сто пять десятитысячных.

{"questions":[{"content":"Прочитайте десятичную дробь $65,049$ и подставьте нужные слова: <br />шестьдесят пять [[fill_choice_big-1]] сорок девять [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["целых","десятых","дробных","единиц"],"answer":0},"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["тысячных","сотых","целых","десятых"],"answer":0}},"hints":["В десятичной дроби часть перед запятой называется целой.","При чтении дробной части называют только последний разряд.","В дробной части третий разряд называется «тысячные»."]}]}

Перевод десятичных дробей

Иногда при решении задач и примеров вам потребуется переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот. Чтобы не запутаться в количестве разрядов после запятой, нужно помнить правило:

В десятичной дроби после запятой столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби.

Целая часть при этом переносится без изменений. Например, обыкновенная дробь $2\large{\frac{3}{10}}$ в виде десятичной дроби будет выглядеть как $2,3$ — $2$ целых и $3$ десятых. Здесь в знаменателе $2\large{\frac{3}{10}}$ стоит один ноль, поэтому в $2,3$ после запятой стоит одна цифра.

Переведем дробь $0,0259$ в обыкновенную. После нуля здесь стоит $4$ цифры. Значит, в знаменателе обыкновенной дроби будет $4$ нуля:

$$0,\underbrace{0259}_{\text{4 цифры}}=\frac{}{1\underbrace{0000}_{\text{4 нуля}}}$$

Цифры дробной части переносятся в числитель обыкновенной дроби. Если спереди стоит нуль — он убирается:

$$0,0259=\frac{\xcancel{0}259}{10000}$$

Получили, что $0,0259=\large{\frac{259}{10000}}$.

Теперь попробуем перевести обыкновенную дробь $\large{\frac{45}{100000}}$ в десятичную. Здесь нет целой части, поэтому перед запятой пишем ноль:

$$\frac{45}{100000}=0,…$$

В знаменателе $5$ нулей, значит, после запятой будет $5$ цифр:

$$\frac{45}{100000}=0,*****$$

Переносим числитель в крайние правые разряды:

$$\frac{45}{100000}=0,***\space45$$

Пустые разряды заменяем нулями:

$$\frac{45}{100000}=0,00045$$

{"questions":[{"content":"Переведите десятичную дробь в обыкновенную: $0,027$.<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{27}{1000}$","$\\dfrac{27}{100}$","$\\dfrac{27}{10000}$","$\\dfrac{027}{1000}$"],"explanations":["В дробной части три цифры — в знаменателе будет три нуля. Дробная часть переносится в числитель, первый ноль убирается.","","",""],"answer":[0]}},"hints":["В знаменателе столько же нулей, сколько в десятичной дроби цифр после запятой."]}]}

Решение примеров

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Показать решение

Закрыть

Часто задаваемые вопросы