Приближение и округление десятичных дробей

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с необходимостью округлять числа. Например, когда мы говорим о температуре воздуха, то обычно округляем ее до целых чисел (например, $23 °C$ вместо $23,4 °C$). Округленное значение может быть менее точным, но оно легче для понимания и использования.

Вы уже знаете о десятичных дробях и их свойствах. Сегодня мы рассмотрим, что такое округление и приближение десятичной дроби, а также поговорим о том, когда такая дробь может стать бесконечной.

Округление десятичных дробей

Округление любых чисел помогает сделать их более понятными и легкими для восприятия. В обычной жизни часто бывает не важна абсолютная точность. Например, почти всегда вместо цены $199$ рублей вы скажете — $200$ рублей.

Также округление часто используется в точных науках, например, в физике и экономике. Ученые выполняют сложные расчеты, где некоторые значения удобно взять в виде приблизительного числа, которое не повлияет на результат. В математике такое значение мы называем приближенным.

Округление десятичной дроби — это процесс нахождения наиболее близкого по значению к ней числа, где одна или несколько последних ее цифр заменяются нулями.

Например, если нам нужно найти площадь круга, чтобы упростить вычисления, мы можем использовать приближенное значение числа $\pi = 3,14$ вместо его точного значения $3,141592…$.

Точность округления десятичных дробей может быть разной: в какой-то задаче вам достаточно округлить до десятых, в другой — до тысячных. Это условие показывает, до какого разряда после запятой требуется сделать округление.

{"questions":[{"content":"Для чего может пригодиться округление чисел?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["для упрощения расчетов","для представления данных в удобной форме","для соблюдения стандартов (в области науки, финансов)","все варианты верны"],"placeholder":0,"answer":3}}}]}

Правила округления

Для того чтобы округлить десятичную дробь, нужно придерживаться определенного алгоритма действий.

Вспомним названия разрядов после запятой в записи десятичной дроби:

Округлим число $6,6539$ до сотых:

• Подчеркнем цифру $5$ и отбросим цифры $3$ и $9$, которые следуют за разрядом сотых.
• За подчеркнутой цифрой $5$ стоит цифра $3$, поэтому цифру $5$ оставляем без изменений.
• Получаем $6,65$.

Округлим число $5,876$ до сотых:

• Подчеркнем цифру $7$ и отбросим цифру $6$, которая следуют за разрядом сотых.
• За подчеркнутой цифрой $7$ стоит цифра $6$, которая $>5$, поэтому цифру $7$ увеличиваем на $1$.
• Получаем $5,88$.

$6,6539\approx 6,65$ при округлении до сотых.
$5,876\approx 5,88$ при округлении до сотых.

{"questions":[{"content":"Какое число получится, если округлить $0,682$ до десятых?[[fill_choice_big-12]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$0,7$","$0,69$","$0,6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Десятые- это $1$-й разряд справа после запятой. В нашем числе $0,682$ — это $6$.","Смотрим на 2-ю цифру после запятой. Она больше 5. Поэтому увеличиваем десятичный порядок на $1$:<br />$6+1=7$."]}],"mix":1}

Практика: округление

№1. Приближение в измерениях

Бегун пробежал дистанцию $9,832$ км. В отчете соревнований нужно записать результат с точностью до десятых.

Какое значение судья укажет в отчете?

Показать решение и ответ

Скрыть

№2. Округление и приближение в задачах с деньгами

В магазине Маша купила шоколадный батончик за $52,79$ рубля. Она платит наличными и хочет заранее подсчитать, сколько у нее останется сдачи, если округлить сумму до ближайшего рубля.

Какую сумму она заплатит, если округлить стоимость до целых рублей?

Показать решение и ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Округлите десятичную дробь $23,5658$ до тысячных.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$23,567$","$23,566$","$23,569$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Тысячные — это $3$-й разряд справа после запятой в десятичной дроби. В нашем числе $23,5658$ — это $5$.","$4$-я цифра справа от запятой больше $5$, поэтому тысячный порядок увеличиваем на $1$.<br />$5+1 = 6$."]}],"mix":1}

Конечные и бесконечные периодические дроби

Ранее мы всегда работали с десятичными дробями, в записи которых после запятой стоит конечное число цифр. Эти дроби называются конечными десятичными дробями.

Некоторые обыкновенные дроби нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, потому что их знаки после запятой повторяются бесконечно. Такое деление можно продолжать бесконечно:

$\frac{1}{3} = 0,33333…$ (бесконечно много троек) 
$\frac{2}{11} = 0,181818…$ (повторяется $1$ и $8$) 

Периодическая дробь — это десятичная дробь, у которой цифры после запятой повторяются бесконечно.

Как записывать периодические дроби? Допустим, при делении обыкновенной дроби вы получили бесконечную периодическую дробь $0,424242…$. Выделяем повторяющийся фрагмент и записываем дробь как $0,(42)$.

Повторяющуюся часть называют периодом и записывают ее в скобках. Такая запись читается как «ноль целых и сорок два в периоде».

Как определить, какой будет дробь при делении конечной или бесконечной?

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какие числа могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Только целые числа","Дроби, у которых в знаменателе только множители $2$ и\\или $5$","Любые рациональные числа"],"placeholder":0,"answer":1}}}]}

Практика: конечные и бесконечные дроби

№1. Определите, является дробь конечной или бесконечной

Преобразуйте обычную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную.

Показать решение и ответ

Скрыть

№2. Определите, является дробь конечной или бесконечной

Преобразуйте обыкновенную дробь $\frac{7}{12}$ в десятичную.

Показать решение и ответ

Скрыть

№3. Определите, является дробь конечной или бесконечной

Преобразуйте обыкновенную дробь $\frac{5}{11}$ в десятичную.

Показать решение и ответ

Скрыть

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Чтобы понять, как выполнить обратное преобразование бесконечной десятичной дроби в обыкновенную, рассмотрим алгоритм на примере числа $0,333…$ или $0,(3)$:

1. Возьмем за $x$ наше число: $x=0,333…$
2. Умножим на $10$, чтобы период сместился: $10x=3,333…$
3. Вычтем первое уравнение из второго:
   $10x−x=3,333…−0,333… $
   $9x=3$
4. Разделим обе части уравнения на $9$:
   $x= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.​

{"questions":[{"content":"Определите, является ли $\\frac{9}{50}$  конечной или бесконечной десятичной дробью. [[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0,18$ — конечная десятичная дробь","$0,(17)$ — бесконечная десятичная дробь","$0,16161616...$ — бесконечная десятичная дробь"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Дробь $\\frac{9}{50}$   уже в простом виде, поэтому сразу проверяем знаменатель.","Знаменатель $50=2× 5 × 5$ состоит только из чисел $2$ и $5$.","Следовательно, дробь будет конечной. Делим числитель на знаменатель: $\\frac{9}{50}=0,18$."]}]}

Часто задаваемые вопросы