Площадь круга и кругового сектора

На предыдущем уроке мы познакомились с длиной окружности и узнали, как находить длину дуги. Рассматривали окружность как линию и учились вычислять ее части с помощью радиуса, числа $\pi$ и центрального угла.

Сегодня посмотрим на круг с другой стороны. Теперь нас будет интересовать не только граница фигуры, но и вся область внутри нее. Если окружность ограничивает круг, то площадь показывает, сколько места занимает сам круг на плоскости.

В этом уроке мы выведем формулу площади круга, научимся находить площадь кругового сектора и увидим, как центральный угол помогает вычислять площадь части круга.

Площадь круга

Перед тем как выводить формулу площади круга, уточним важную вещь: окружность и круг — это не одно и то же.

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Если говорить проще, окружность — это граница, а круг — вся область внутри этой границы. Поэтому у окружности мы находим длину, а у круга — площадь.

Для круга нельзя просто перемножить две стороны, как у прямоугольника, потому что сторон у него нет. Но его можно разделить на части и попробовать собрать из них фигуру, площадь которой уже умеем находить. Например, прямоугольник.

Представьте круглую пиццу. Разрежем ее на $8$ равных частей. Каждая из таких частей называется сектором.

Если разложить секторы в таком порядке: один острием вверх, другой острием вниз, то получится фигура, похожая на параллелограмм.

Чем больше секторов, тем уже становится каждый из них. Значит, собранная фигура все больше похожа не на неровный параллелограмм, а на прямоугольник.

Высота такой фигуры равна радиусу круга: $h = r$, а основание получается равным половине длины окружности.

Действительно, дуги секторов образуют две стороны новой фигуры: верхнюю и нижнюю. Вместе они дают всю длину окружности, а каждая из них — половину этой длины.

Так как длина окружности $C = 2\pi r$, то половина длины окружности $a = \dfrac{C}{2} = \dfrac{2\pi r}{2} = \pi r$.

Значит, основание новой фигуры равно $a = \pi r$, а высота $h$ равна $r$. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту:

$S = a \cdot h = \pi r \cdot r$.

Следовательно, площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат радиуса:

$S = \pi r^2$.

{"questions":[{"content":"Если разделить круг на несколько равных частей, то как будет называться каждая такая часть?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Хорда","Сектор","Сегмент","Дуга"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Это похоже на кусочек пиццы.","Такая часть круга носит свое название — сектор."]}],"mix":1}

Площадь кругового сектора

В предыдущей главе мы делили круг на равные части (секторы) и с их помощью получили формулу площади круга $S = \pi r^2$.

Теперь рассмотрим сам сектор как отдельную фигуру и введем его точное определение.

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

На рисунке сектор ограничен радиусами $OA$ и $OB$ и дугой $_{\smile} AB$. Радиусы $OA$ и $OB$ образуют центральный угол $\alpha$. Именно этот угол показывает, какую часть круга занимает сектор.

Площадь кругового сектора вычисляют по формуле:

$S = \dfrac{\pi r^2}{360} \cdot \alpha$,
где $r$ — радиус круга, $\alpha$ — градусная мера центрального угла сектора.

Доказательство

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен $6$ $см$, центральный угол равен $40^\\circ$, а $\\pi \\approx 3$.<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$ $см^2$","$18$ $см^2$","$24$ $см^2$","$36$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу площади сектора: $S = \\dfrac{\\alpha}{360^\\circ} \\cdot \\pi r^2$.","Подставьте значения: $S = \\dfrac{40^\\circ}{360^\\circ} \\cdot 3 \\cdot 6^2 = 12$ $см^2$."]}],"mix":1}

Дополнительные формулы

Мы рассмотрели основные формулы площадей круга и кругового сектора.

Но иногда в задаче радиус круга не дан напрямую. Тогда его нужно выразить через другие известные величины: диаметр или длину окружности.

Для таких случаев полезно знать несколько формул, которые помогают быстрее перейти к вычислению площади круга.

Так например, можно найти площадь круга, если известен его диаметр. Излишне говорить, что $r = \dfrac{d}{2}$, и все-таки, если диаметр задан нечетным числом, то при делении его на $2$ получится десятичная дробь. А возведение такого числа в квадрат не является удобным.

Здесь нам пригодится формула:

$S = \dfrac{\pi d^2}{4}$, где $d$ — диаметр окружности.

Также, если известна только длина окружности, а ни радиуса, ни диаметра не дано, можно воспользоваться такой формулой:

$S = \dfrac{C^2}{4\pi}$, где $C$ — длина окружности.

А если в задаче даны и длина окружности, и ее радиус, то площадь круга можно вычислить так:

$S = \dfrac{1}{2}Cr$, где $C$ — длина окружности, $r$ — радиус окружности.

Данная формула созвучна с нахождением площади многоугольника, в который вписана окружность: $S = \dfrac{1}{2}Pr$, где $P$ — периметр многоугольника.

Дело в том, что длину окружности иногда рассматривают как аналог периметра для круга. В прошлых уроках мы увидели: чем больше сторон у правильного многоугольника, тем ближе его граница к окружности.

Значит, если увеличивать количество сторон такого многоугольника, его периметр будет приближаться к длине окружности $C$.

{"questions":[{"content":"Длина окружности равна $12\\pi$ $см$. Найдите площадь круга.<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36\\pi$ $см^2$","$24\\pi$ $см^2$","$72\\pi$ $см^2$","$144\\pi$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если известна длина окружности, можно использовать формулу $S = \\dfrac{C^2}{4\\pi}$.","Подставьте $C = 12\\pi$: $S = \\dfrac{(12\\pi)^2}{4\\pi} = 36\\pi$ $см^2$."]}],"mix":1}

Это интересно

Площадь круга люди пытались находить еще в древности.

Один из известных примеров записан в папирусе Ринда — древнеегипетском математическом тексте. В нем есть задача про круглое поле диаметром $9$ единиц.

Египтяне предлагали такой способ: сначала от диаметра нужно отнять его девятую часть. Затем полученное число возводили в квадрат.

Так площадь круглого поля считали примерно равной $64$ квадратным единицам.

Почему именно девятая часть? Так древние математики получали удобное приближение: вместо круга они как будто брали квадрат со стороной, немного меньшей диаметра круга. Современной формулы $S = \pi r^2$ у них еще не было, но способ давал довольно точный результат для практических задач.

Позже Архимед показал связь площади круга с длиной окружности. Он рассматривал круг через другую фигуру — прямоугольный треугольник.

Если один катет такого треугольника равен радиусу круга, а другой — длине окружности, то его площадь равна площади круга:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot 2\pi r = \pi r^2$.

А сегодня круг и его части используют не только в геометрии.

Круговые секторы можно увидеть в круговых диаграммах.
Например, так можно изобразить, какую долю занимают ответы в опросе или отдельные расходы в бюджете.

История площади круга показывает, как практические задачи постепенно превращались в точные математические правила. А сам круг оказался не только геометрической фигурой, но и удобным способом описывать части целого.

Часто задаваемые вопросы