Длина окружности. Радианная мера угла

{"questions":[{"content":"Найдите длину окружности, если ее радиус равен $5$ $см$.<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10\\pi$ $см$","$5\\pi$ $см$","$25\\pi$ $см$","$2\\pi$ $см$"],"explanations":["","Это значение получилось бы при $R = 2{,}5$.","Это значение соответствует формуле площади $S = \\pi R^2$ при $R = 5$.","Это значение получилось бы при $R = 1$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу длины окружности через радиус: $C = 2\\pi R$.","Подставьте $R = 5$: $C = 2\\pi \\cdot 5 = 10\\pi$ $см$."],"id":"8"},{"content":"Найдите длину окружности, если ее радиус равен $7$ $см$.[[choice-344]]","widgets":{"choice-344":{"type":"choice","options":["$14\\pi$ $см$","$7\\pi$ $см$","$49\\pi$ $см$","$21\\pi$ $см$"],"explanations":["","Это значение в $2$ раза меньше нужного, так как забыли множитель $2$.","Это значение соответствует формуле площади $S = \\pi R^2$ при $R = 7$.","Это значение получилось бы при $R = 10{,}5$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу длины окружности через радиус: $C = 2\\pi R$.","Подставьте $R = 7$: $C = 2\\pi \\cdot 7 = 14\\pi$ $см$."],"id":"8"},{"content":"Найдите радиус окружности, если ее длина равна $36$ $см$, а $\\pi = 3$.<br /><br />[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$6$ $см$","$12$ $см$","$18$ $см$","$3$ $см$"],"explanations":["Из $36 = 2\\cdot 3 \\cdot R$ получаем $36 = 6R$, значит $R = 6$ $см$.","Это значение получилось бы, если разделить 36 на 3, не учитывая множитель 2.","Это значение не согласуется с уравнением $36 = 6R$.","Это значение получилось бы, если разделить 36 на 12."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $C = 2\\pi R$ и подставьте известные значения.","Получаем: $36 = 2 \\cdot 3 \\cdot R$, значит $36 = 6R$, поэтому $R = 6$ $см$."],"id":"9"},{"content":"Найдите радиус окружности, если ее длина равна $50$ $см$, а $\\pi = 3{,}14$.[[choice-556]]","widgets":{"choice-556":{"type":"choice","options":["$7{,}96$ $см$","$15{,}92$ $см$","$25$ $см$","$6{,}28$ $см$"],"explanations":["","Это значение получилось бы, если разделить $50$ на $3{,}14$, забыв множитель $2$.","Это значение возможно, если перепутать формулы и подставить в выражение без учета $\\pi$.","Это значение равно $2\\pi$ при $\\pi=3{,}14$ и не может быть радиусом из уравнения $50=2\\pi R$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу длины окружности $C = 2\\pi R$ и выразите радиус: $R = \\dfrac{C}{2\\pi}$.","Подставьте: $R = \\dfrac{50}{2\\cdot 3{,}14} = \\dfrac{50}{6{,}28} \\approx 7{,}96$ $см$."],"id":"9"},{"content":"Найдите длину дуги окружности радиуса $8$ $см$, если центральный угол равен $45^\\circ$.<br /><br />[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$2\\pi$ $см$","$4\\pi$ $см$","$8\\pi$ $см$","$\\pi$ $см$"],"explanations":["По формуле $l = \\dfrac{2\\pi R}{360^\\circ}\\cdot \\alpha$: $\\dfrac{16\\pi}{360}\\cdot 45 = 2\\pi$.","Это значение получилось бы при угле $90^\\circ$.","Это значение получилось бы при угле $180^\\circ$.","Это значение получилось бы при угле $22{,}5^\\circ$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу длины дуги: $l = \\dfrac{2\\pi R}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$.","Подставьте значения: $l = \\dfrac{2\\pi \\cdot 8}{360^\\circ} \\cdot 45^\\circ = 2\\pi$ $см$."]},{"content":"Длина дуги окружности радиуса $12$ $см$ равна $3\\pi$ $см$. Найдите градусную меру центрального угла, который соответствует этой дуге.<br /><br />[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$45^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$","$30^\\circ$"],"explanations":["Из $3\\pi = \\dfrac{2\\pi\\cdot 12}{360^\\circ}\\cdot \\alpha$ получаем $3 = \\dfrac{24}{360}\\alpha$, значит $\\alpha=45^\\circ$.","Для $60^\\circ$ длина дуги была бы $4\\pi$.","Для $90^\\circ$ длина дуги была бы $6\\pi$.","Для $30^\\circ$ длина дуги была бы $2\\pi$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $l = \\dfrac{2\\pi R}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$ и подставьте известные значения.","Получаем: $3\\pi = \\dfrac{2\\pi \\cdot 12}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$, значит $\\alpha = 45^\\circ$."]},{"content":"Переведите угол $120^\\circ$ в радианы.<br /><br />[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2\\pi}{3}$ рад","$\\dfrac{3\\pi}{4}$ рад","$\\dfrac{\\pi}{3}$ рад","$\\dfrac{5\\pi}{6}$ рад"],"explanations":["$120^\\circ\\cdot \\dfrac{\\pi}{180^\\circ}=\\dfrac{2\\pi}{3}$.","$\\dfrac{3\\pi}{4}$ соответствует $135^\\circ$.","$\\dfrac{\\pi}{3}$ соответствует $60^\\circ$.","$\\dfrac{5\\pi}{6}$ соответствует $150^\\circ$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу перевода градусов в радианы: $\\alpha^\\circ = \\alpha \\cdot \\dfrac{\\pi}{180^\\circ}$ рад.","Подставьте $120$: $120^\\circ = 120 \\cdot \\dfrac{\\pi}{180^\\circ} = \\dfrac{2\\pi}{3}$ рад."]},{"content":"Переведите угол $\\dfrac{5\\pi}{6}$ рад в градусы.<br /><br />[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$150^\\circ$","$120^\\circ$","$135^\\circ$","$160^\\circ$"],"explanations":["$\\dfrac{5\\pi}{6}\\cdot \\dfrac{180^\\circ}{\\pi}=150^\\circ$.","$120^\\circ$ соответствует $\\dfrac{2\\pi}{3}$.","$135^\\circ$ соответствует $\\dfrac{3\\pi}{4}$.","$160^\\circ$ соответствует $\\dfrac{8\\pi}{9}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу перевода радиан в градусы: радианную меру нужно умножить на $\\dfrac{180^\\circ}{\\pi}$.","Вычислим: $\\dfrac{5\\pi}{6} \\cdot \\dfrac{180^\\circ}{\\pi} = 150^\\circ$."]}],"mix":1}