Длина окружности и ее дуги. Радианная мера угла

На предыдущих уроках мы познакомились с правильными многоугольниками и узнали, как они связаны с окружностью. Рассматривали фигуры, которые возможно вписать в окружность, и окружности, которые можно описать около правильных многоугольников.

Сегодня посмотрим на эту связь с другой стороны. Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем ближе его граница к окружности. Значит, можно перейти от периметра многоугольника к вычислению длины самой окружности.

В этом уроке мы выведем формулу длины окружности, узнаем, что представляет собой число $\pi$, научимся находить длину дуги и познакомимся с радианной мерой угла.

Длина окружности

Представьте, что в окружность вписан правильный многоугольник. Например, шестиугольник. Его периметр легко найти: нужно сложить длины всех сторон.

Теперь увеличим число сторон. Возьмем правильный $12$-угольник, $24$-угольник, $48$-угольник и так далее. Чем больше сторон у такого многоугольника, тем меньше каждая его сторона будет отличаться от маленькой части окружности.

Значит, периметр правильного многоугольника все точнее приближается к длине окружности.

Длина окружности — это длина линии, которая образует окружность.

Обычно длину окружности обозначают буквой $C$.

Еще в древности математики заметили: если измерить длину окружности и разделить ее на диаметр, то для разных окружностей получается одно и то же значение. Окружности могут быть большими или маленькими, но это отношение не меняется.

Такое число обозначили греческой буквой $\pi$. Следовательно, $\dfrac{C}{d} = \pi$.

Значит, длина окружности равна произведению числа $\pi$ и диаметра:
$C = \pi d$.

Число $\pi$ нельзя точно записать конечной десятичной дробью. Для вычислений часто используют приближенное значение:

$\pi \approx 3{,}14$.

Также число $\pi$ иногда приближенно заменяют дробью:

$\pi \approx \dfrac{22}{7}$.

Так как диаметр окружности в два раза больше радиуса, то есть $d = 2R$, формулу можно записать иначе:

$$C = 2\pi R.$$

Итак, длину окружности можно находить по одной из двух формул:

$C = \pi d$, либо $C = 2\pi R$.

{"questions":[{"content":"Как найти длину окружности, если известен ее радиус $R$?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$C = 2\\pi R$","$C = \\pi R$","$C = 2\\pi d$","$C = \\pi R^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните: если известен радиус, через него можно выразить диаметр окружности.","Диаметр равен двум радиусам, поэтому $C = \\pi d = 2\\pi R$."]}],"mix":1}

Длина дуги окружности

Иногда требуется найти длину не всей окружности, а ее части. Такую часть окружности называют дугой.

Например, если взять две точки на окружности, они разделят окружность на две дуги.

Чтобы найти длину дуги, нужно понять, какую часть от всей окружности она составляет.

Как известно, вся окружность содержит в себе $360^\circ$. Следовательно, половина окружности — $180^\circ$, а ее четверть — $90^\circ$ и так далее.

Мы знаем, что каждой градусной мере дуги соответствует центральный угол $\alpha$, поэтому:

• если дуга равна половине окружности, то $\alpha = 180^\circ$;
• если дуга равна четверти окружности, то $\alpha = 90^\circ$;
• если дуга равна одной шестой окружности, то $\alpha = 60^\circ$.

Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то для нахождения длины ее дуги нужно разделить длину окружности на $360^\circ$, чтобы вычислить длину дуги в $1^\circ$, а затем умножить на градусную меру угла, который соответствует данной дуге:

$$l = \dfrac{2\pi R}{360^\circ} \cdot \alpha.$$

После упрощения получим:

$l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $l$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, $\alpha$ — градусная мера центрального угла, который соответствует этой дуге.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Как найти длину дуги окружности, если радиус окружности равен $R$, а градусная мера центрального угла равна $\\alpha$?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$l = \\dfrac{2\\pi R}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$","$l = 2\\pi R \\cdot \\alpha$","$l = \\dfrac{\\pi R}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$","$l = \\dfrac{2\\pi R}{\\alpha}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните: сначала нужно найти, какая длина приходится на $1^\\circ$.","Длина всей окружности равна $2\\pi R$, поэтому длина дуги равна $l = \\dfrac{2\\pi R}{360^\\circ} \\cdot \\alpha$."]}],"mix":1}

Радианная мера угла

Углы обычно измеряют в градусах. Например, полный угол равен $360^\circ$, развернутый угол — $180^\circ$, а прямой — $90^\circ$.

Но при работе с окружностью удобно измерять угол еще одним способом — через длину дуги, которая этому углу соответствует.

Рассмотрим окружность радиуса $R$. Из центра окружности проведем два радиуса. Они образуют центральный угол $\alpha$, которому соответствует дуга окружности $l$.

Чтобы найти радианную меру центрального угла, нужно длину соответствующей дуги разделить на радиус окружности:

$\alpha = \dfrac{l}{R}$, где $\alpha$ — радианная мера угла, $l$ — длина соответствующей дуги, $R$ — радиус окружности.

То есть радианная мера угла показывает, сколько радиусов укладывается в дуге, которая соответствует этому углу.

Например, если длина дуги равна радиусу, то

$$\alpha = \dfrac{R}{R} = 1~радиан.$$

Следовательно, $1$ радиан — это центральный угол, которому соответствует дуга, равная радиусу окружности.

Теперь применим эту идею к полной окружности.

Длина всей окружности равна $2\pi R$. Полной окружности соответствует угол $360^\circ$. Значит, радианная мера угла всей окружности:

$$\alpha = \dfrac{2\pi R}{R} = 2\pi.$$

Соответственно, радианная мера полуокружности равна $180^\circ = \pi$ рад, а прямого угла — $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ рад.

Теперь можно находить радианную меру других углов.

Например, угол $60^\circ$ составляет шестую часть полного угла, потому что:

$360^\circ : 60^\circ = 6$.

Значит, его радианная мера тоже составляет шестую часть от $2\pi$:

$\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$.

Поэтому:

$60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ рад.

Соответственно, угол, равный $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ радиан.

Радианная мера угла особенно часто используется в тригонометрии. Там углы удобно выражать не в градусах, а через число $\pi$.

Чаще всего для перевода используют связь: $180^\circ = \pi$ рад.

Чтобы перевести градусы в радианы, нужно градусную меру умножить на $\dfrac{\pi}{180^\circ}$:

$\alpha^\circ = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}$ рад.

Например:

$135^\circ = 135 \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = \dfrac{3\pi}{4}$ рад.

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно радианную меру умножить на $\dfrac{180^\circ}{\pi}$.

Например:

$\dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ$.

Таким образом можно переходить от градусов к радианам и обратно.

{"questions":[{"content":"Скольким радианам соответствует угол $150^\\circ$?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5\\pi}{6}$","$\\dfrac{3\\pi}{4}$","$\\dfrac{2\\pi}{3}$","$\\dfrac{7\\pi}{6}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу перевода градусов в радианы: $\\alpha^\\circ = \\alpha \\cdot \\dfrac{\\pi}{180^\\circ}$ рад.","Подставьте $150$ вместо $\\alpha$: $150^\\circ = 150 \\cdot \\dfrac{\\pi}{180^\\circ} = \\dfrac{5\\pi}{6}$ рад."]}],"mix":1}

Это интересно

Длина окружности пригодилась математикам даже для измерения Земли. Один из самых известных примеров связан с древнегреческим ученым Эратосфеном.

Он знал, что в городе Сиена, на месте современного Асуана, в день летнего солнцестояния Солнце в полдень находится почти прямо над головой. Лучи попадали даже на дно глубокого колодца, а вертикальные предметы почти не давали тени.

В тот же день и в то же время в Александрии вертикальный шест отбрасывал тень. По этой тени Эратосфен определил угол между солнечными лучами и вертикалью. Он оказался примерно равен $7{,}2^\circ$.

Это $1 / 50$ часть полного угла, потому что $360^\circ : 7{,}2^\circ = 50$. Значит, расстояние между Александрией и Сиеной составляет примерно $1 / 50$ часть земной окружности.

Эратосфен знал расстояние между городами. Поэтому он умножил его на $50$ и получил приближенное значение длины окружности Земли.

Позже похожая идея стала важной для мореплавателей. В навигации расстояния часто связывали с дугой земной окружности. Так появилась морская миля: она связана с одной минутой дуги земного меридиана. Сейчас ее длина принята равной $1852$ $м$.

А слово «радиан» появилось сравнительно недавно — только в XIX веке. До этого углы уже умели измерять через дуги, но специальное название для такой меры закрепилось не сразу.

Это хороший пример того, как математическая идея может существовать давно, а удобное слово для нее появляется намного позже.

Часто задаваемые вопросы