Площадь круга и кругового сектора

{"questions":[{"content":"Найдите площадь круга, если его радиус равен $5$ $см$ ($\\pi \\approx 3$).<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$75$ $см^2$","$30$ $см^2$","$25$ $см^2$","$150$ $см^2$"],"explanations":["Площадь круга: $S=\\pi r^2=3\\cdot 5^2=75$.","Это $\\pi r=3\\cdot 5$, радиус забыли возвести в квадрат.","Это $r^2=25$, площадь нужно умножить на $\\pi$.","Это $2\\pi r^2=2\\cdot 3\\cdot 25$, лишний множитель $2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу площади круга: $S = \\pi r^2$.","Подставьте значения: $S = 3 \\cdot 5^2 = 3 \\cdot 25 = 75$."]},{"content":"Найдите площадь круга, если его радиус равен $7$ $см$ ($\\pi \\approx 3$).[[choice-814]]","widgets":{"choice-814":{"type":"choice","options":["$147$ $см^2$","$21$ $см^2$","$49$ $см^2$","$98$ $см^2$"],"explanations":["","Это результат для выражения $3\\cdot 7$, без возведения радиуса в квадрат.","Это значение $r^2$, площадь нужно умножить еще на $\\pi$.","Это результат $2\\cdot 49$, формула площади круга другая."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу площади круга: $S = \\pi r^2$.","Подставьте $r=7$: $S \\approx 3\\cdot 7^2$ и вычислите."]},{"content":"Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен $6$ $см$, а центральный угол равен $60^\\circ$ ($\\pi \\approx 3$).<br /><br />[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$18$ $см^2$","$36$ $см^2$","$54$ $см^2$","$108$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу площади сектора: $S = \\dfrac{\\alpha}{360^\\circ} \\cdot \\pi r^2$.","Подставьте значения: $S = \\dfrac{60^\\circ}{360^\\circ} \\cdot 3 \\cdot 6^2 = \\dfrac{1}{6} \\cdot 3 \\cdot 36 = 18$."],"id":"11"},{"content":"Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен $9$ $см$, а центральный угол равен $120^\\circ$ ($\\pi \\approx 3$).[[choice-993]]","widgets":{"choice-993":{"type":"choice","options":["$81$ $см^2$","$54$ $см^2$","$243$ $см^2$","$162$ $см^2$"],"explanations":["","Это получилось бы при делении на $\\dfrac{3}{2}$ или при неверной доле круга; доля должна быть $\\dfrac{120}{360}=\\dfrac{1}{3}$.","Это площадь всего круга: $3\\cdot 9^2=243$, сектор меньше.","Это $\\dfrac{2}{3}$ площади круга: перепутали $120^\\circ$ и $240^\\circ$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдите долю круга: $\\dfrac{120^\\circ}{360^\\circ}=\\dfrac{1}{3}$.<br />Площадь круга: $\\pi r^2 \\approx 3\\cdot 9^2$.","<br />Умножьте площадь круга на долю сектора и получите ответ: $\\dfrac{1}{3}\\cdot 3\\cdot 81=81$."],"id":"11"},{"content":"Площадь круга равна $72$ $см^2$. Найдите площадь сектора, если его центральный угол равен $90^\\circ$.<br /><br />[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$18$ $см^2$","$24$ $см^2$","$36$ $см^2$","$72$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сектор занимает такую же часть круга, какую его угол занимает от $360^\\circ$.","Угол $90^\\circ$ составляет четверть полного угла: $\\dfrac{90^\\circ}{360^\\circ} = \\dfrac{1}{4}$, значит $S = \\dfrac{1}{4} \\cdot 72 = 18$."]},{"content":"Найдите площадь круга, если его диаметр равен $10$ $см$ ($\\pi \\approx 3$).<br /><br />[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$75$ $см^2$","$30$ $см^2$","$100$ $см^2$","$300$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если известен диаметр, можно использовать формулу: $S = \\dfrac{\\pi d^2}{4}$.","Подставьте значения: $S = \\dfrac{3 \\cdot 10^2}{4} = \\dfrac{300}{4} = 75$."]},{"content":"Длина окружности равна $24$ $см$. Найдите площадь круга ($\\pi \\approx 3$).<br /><br />[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$48$ $см^2$","$24$ $см^2$","$96$ $см^2$","$144$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если известна длина окружности, можно использовать формулу: $S = \\dfrac{C^2}{4\\pi}$.","Подставьте значения: $S = \\dfrac{24^2}{4 \\cdot 3} = \\dfrac{576}{12} = 48$."]},{"content":"Длина окружности равна $18$ $см$, а радиус круга равен $4$ $см$. Найдите площадь круга.<br /><br />[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$36$ $см^2$","$22$ $см^2$","$72$ $см^2$","$144$ $см^2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если известны длина окружности и радиус, используйте формулу: $S = \\dfrac{1}{2}Cr$.","Подставьте значения: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot 18 \\cdot 4 = 9 \\cdot 4 = 36$."]}],"mix":1}