8 класс Геометрия Подобные треугольники Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников

Содержание

В уроке «Подобные треугольники. Коэффициент подобия» вы узнали, что подобные треугольники — это треугольник и его копия, сделанная копиром с масштабом. По определению для подобия нужно проверить шесть условий: три пары равных углов и три равных отношения сторон. В этом уроке докажем три признака подобия, которым хватает двух-трех условий, и научимся находить подобные треугольники на чертеже.

Два угла уже задают форму треугольника

Как узнать, что два треугольника подобны, не измеряя все шесть величин? Выясним, сколько «кнопок» нужно нажать на копире, чтобы форма копии получилась единственной, а менялся только размер.

Построим треугольник $ABC$: $AB = 3$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, и такой же по углам треугольник $A_1B_1C_1$ с $A_1B_1 = 6$ см. Измерим остальные стороны: $BC \approx 2{,}2$ см, $AC \approx 2{,}7$ см, а $B_1C_1 \approx 4{,}4$ см, $A_1C_1 \approx 5{,}4$ см. Каждая сторона второго треугольника вдвое длиннее, а третьи углы одинаковы: $\angle C = \angle C_1 = 180^\circ-45^\circ-60^\circ = 75^\circ$. Второй треугольник — копия первого с $k = 2$.

Два треугольника на отрезках 3 и 6 с одинаковыми углами при концах: форма та же, размер вдвое больше — Углы $45^\circ$ и $60^\circ$ при концах отрезка задают форму: на отрезке 6 см получается копия треугольника с отрезком 3 см, $k = 2$

Почему так? Длина отрезка $AB$ — это кнопка масштаба: она выбирает только размер. Форму задают углы, причем третий угол задавать не нужно — он равен $180^\circ$ минус сумма двух других.

Гипотеза: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Два чертежа — не доказательство, поэтому докажем гипотезу.

{"questions":[{"content":"Вообразавр задает копиру данные треугольника. Какие наборы задают форму треугольника так, что меняться может только размер?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Форма задана","Форма не задана"],"items":[["Углы $40^\\circ$ и $55^\\circ$","Углы $90^\\circ$ и $35^\\circ$","Углы $30^\\circ$, $70^\\circ$ и $80^\\circ$"],["Один угол $70^\\circ$","Стороны 4 см и 7 см","Угол $40^\\circ$ и сторона 6 см"]]}},"instruction":"Распределите наборы по группам","hints":["Форму задают углы. Третий угол находят по сумме $180^\\circ$, поэтому двух углов достаточно.","Одного угла мало. Стороны без угла между ними — как планки на шарнире: треугольник можно сложить по-разному. Одна сторона задает только размер.","Ответ: форму задают углы $40^\\circ$ и $55^\\circ$; $90^\\circ$ и $35^\\circ$; $30^\\circ$, $70^\\circ$ и $80^\\circ$. Не задают: один угол $70^\\circ$; стороны 4 см и 7 см; угол $40^\\circ$ и сторона 6 см."],"step":1}],"mix":1}

Первый признак: копию отрезает параллельная прямая

Теорема (I признак подобия)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны:

Доказательство соединяет копир и кальку: параллельная прямая отсечет внутри $ABC$ копию нужного размера, а признак равенства покажет, что $A_1B_1C_1$ с ней совпадает. Нужна лемма о параллельной прямой из урока «Подобные треугольники. Коэффициент подобия»; она доказана через теорему о пропорциональных отрезках (урок «Теорема Фалеса. Деление отрезка. Пропорциональные отрезки»), поэтому круга нет.

Прямая DE, параллельная BC, отсекает от треугольника ABC треугольник ADE, равный треугольнику A1B1C1 — $AD = A_1B_1$ и $DE \parallel BC$: треугольник $ADE$ — копия треугольника $ABC$, и он равен треугольнику $A_1B_1C_1$

Доказательство

Дано: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$. Пусть $A_1B_1 < AB$. Если $A_1B_1 > AB$, поменяем треугольники ролями; если $A_1B_1 = AB$, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, а равенство — подобие с $k = 1$.

Шаг 1. Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD = A_1B_1$ и проведем через точку $D$ прямую $DE \parallel BC$, точка $E$ — на стороне $AC$. По лемме о параллельной прямой $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

Шаг 2. $\angle ADE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$. Значит, $\angle ADE = \angle B_1$.

Шаг 3. В треугольниках $ADE$ и $A_1B_1C_1$: $AD = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle ADE = \angle B_1$. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Шаг 4. Равные треугольники совпадают при наложении, поэтому у треугольника $A_1B_1C_1$ те же углы и стороны, что у копии $ADE$. Значит, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{A_1B_1}{AB}$. Что и требовалось доказать.

Пример 1

В треугольниках $ABC$ и $MNK$ известно: $\angle A = \angle N$, $\angle B = \angle K$, $AB = 6$, $BC = 5$, $AC = 7$, $NK = 15$. Найдите $KM$ и $MN$.

Решение. Два угла одного треугольника равны двум углам другого, поэтому по I признаку треугольники подобны. Вершины ставим в пары по равным углам: $A \to N$, $B \to K$, $C \to M$. Запись: $\triangle NKM \sim \triangle ABC$.

Коэффициент: $k = \dfrac{NK}{AB} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$. Тогда $KM = 5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5$, $MN = 7 \cdot 2{,}5 = 17{,}5$.

Ответ: $KM = 12{,}5$, $MN = 17{,}5$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ углы $A = 50^\\circ$, $B = 60^\\circ$, в треугольнике $MNK$ углы $M = 50^\\circ$, $K = 60^\\circ$. Подобны ли треугольники?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: углы $B$ и $N$ не равны","Нельзя определить: неизвестны стороны","Да, по двум углам","Нельзя определить: известны не все углы"],"explanations":["Вершины сравнивают не по порядку букв, а по равным углам: $B$ соответствует $K$","Для подобия достаточно равенства двух углов, стороны знать не нужно","","Третий угол находится по сумме углов треугольника $180^\\circ$: оба равны $70^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Два угла одного равны двум углам другого: $\\angle A = \\angle M$, $\\angle B = \\angle K$; соответствие вершин $A \\to M$, $B \\to K$.","По I признаку (по двум углам) треугольники подобны: $\\triangle ABC \\sim \\triangle MKN$."],"step":1},{"content":"Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны по двум углам, $\\angle A = \\angle M$, $\\angle B = \\angle N$. Известно, что $AB = 6$, $BC = 8$, $MN = 9$. Найдите $NK$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$k = \\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{9}{6} = 1{,}5$.","$NK$ сходственна $BC$ (против равных углов $M$ и $A$): $NK = 8 \\cdot 1{,}5 = 12$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги доказательства I признака подобия: если $\\angle A = \\angle A_1$, $\\angle B = \\angle B_1$ и $A_1B_1 < AB$, то $\\triangle A_1B_1C_1 \\sim \\triangle ABC$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD = A_1B_1$ и проведем $DE \\parallel BC$; по лемме о параллельной прямой $\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC$","Тогда $\\angle ADE = \\angle B$ как соответственные углы при $DE \\parallel BC$, значит, $\\angle ADE = \\angle B_1$","Поэтому $\\triangle ADE = \\triangle A_1B_1C_1$ по стороне $AD = A_1B_1$ и прилежащим к ней углам","Значит, треугольник $A_1B_1C_1$, равный копии $ADE$, подобен треугольнику $ABC$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала нужна копия треугольника $ABC$ нужного размера: без нее сравнивать треугольник $A_1B_1C_1$ не с чем.","Равенство треугольников $ADE$ и $A_1B_1C_1$ опирается на равенство углов $ADE$ и $B_1$, поэтому этот угол находят раньше.","Ответ: построение и лемма → $\\angle ADE = \\angle B_1$ → равенство треугольников → подобие."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Второй признак: равный угол лежит между пропорциональными сторонами

Вторая кнопка копира — угол вместе с двумя сторонами, которые его образуют. Возьмем угол $70^\circ$ и отложим на его сторонах отрезки 4 см и 5 см, концы соединим. Затем на сторонах такого же угла отложим 8 см и 10 см.

Угол 70° между сторонами 4 и 5 слева и между сторонами 8 и 10 справа: третья сторона вырастает в то же число раз — Угол $70^\circ$ общий, стороны при нем пропорциональны: $8 : 4 = 10 : 5 = 2$. Третья сторона тоже вдвое длиннее — это копия

Теорема (II признак подобия)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны:

Доказательство

Прием тот же. Пусть $k = \dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{A_1C_1}{AC}$ и $k < 1$ (другие случаи — как в I признаке). Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD = A_1B_1$ и проведем $DE \parallel BC$, точка $E$ — на стороне $AC$. По лемме о параллельной прямой $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $\dfrac{AD}{AB} = k$, поэтому $AE = k \cdot AC = A_1C_1$.

В треугольниках $ADE$ и $A_1B_1C_1$: $AD = A_1B_1$, $AE = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства). Треугольник $A_1B_1C_1$ равен копии $ADE$, значит, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Пример 2

В треугольниках $ABC$ и $KLM$ известно: $\angle B = \angle K$, $AB = 5$, $BC = 9$, $AC = 8$, $KL = 7{,}5$, $KM = 13{,}5$. Подобны ли треугольники? Найдите $LM$.

Решение. Угол $B$ лежит между сторонами $AB$ и $BC$, угол $K$ — между $KL$ и $KM$. Проверим, пропорциональны ли эти стороны: $\dfrac{KL}{AB} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ и $\dfrac{KM}{BC} = \dfrac{13{,}5}{9} = 1{,}5$. Отношения равны, равные углы лежат между пропорциональными сторонами — по II признаку треугольники подобны.

Соответствие: $B \to K$, $A \to L$, $C \to M$, то есть $\triangle LKM \sim \triangle ABC$, $k = 1{,}5$. Сторона $LM$ сходственна стороне $AC$: $LM = 8 \cdot 1{,}5 = 12$.

Ответ: подобны, $LM = 12$.

Ошибка

Решавр рассуждает: «В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны пропорциональны, $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = 2$, и $\angle A = \angle A_1$. Две стороны и угол — значит, подобны по II признаку».

Проверка на числах. Пусть $AB = 8$, $BC = 6$, а угол $A$ равен примерно $37^\circ$ — при таком угле треугольник со сторонами 8, 6, 10 прямоугольный. Построим треугольник циркулем: на одной стороне угла $A$ отложим $AB = 8$ и проведем дугу радиусом 6 с центром $B$. Дуга пересекает другую сторону угла в двух точках: $C$ ($AC = 10$) и $C’$ ($AC’ = 2{,}8$). Формы разные: в треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой, а в треугольнике $ABC’$ угол $C’$ тупой. Пусть $A_1B_1C_1$ — уменьшенная вдвое копия треугольника $ABC’$: $A_1B_1 = 4$, $B_1C_1 = 3$, $A_1C_1 = 1{,}4$. Все условия Решавра выполнены, но $\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{10}{1{,}4} \approx 7{,}1$, а не 2. Треугольники не подобны.

Где ошибка. Пропорциональны стороны $AB$ и $BC$, между ними лежит угол $B$. Угол $A$ лежит против стороны $BC$ и не закрепляет форму: сторона $BC$ может повернуться в одно из двух положений.

Угол A = 37°, AB = 8, BC = 6: дуга радиуса 6 с центром B пересекает луч в двух точках C и C', получаются два разных треугольника — Дуга радиусом 6 пересекает сторону угла дважды: при $AB = 8$, стороне 6 и том же угле $A$ получаются два разных треугольника $ABC$ и $ABC’$

{"questions":[{"content":"В треугольниках $ABC$ и $MNK$ известно, что $\\dfrac{AB}{MN} = \\dfrac{BC}{NK} = 2$ и $\\angle B = \\angle N$. Подобны ли треугольники?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да, по II признаку: равные углы лежат между пропорциональными сторонами","Нет: нужно еще равенство угла $A$ и угла $M$","Нет: стороны не равны","Да, по III признаку"],"explanations":["","Для II признака достаточно одного угла между двумя пропорциональными сторонами","Для подобия стороны должны быть пропорциональны, равными они быть не обязаны","III признак требует пропорциональности всех трех сторон, а третья сторона здесь не задана"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $B$ лежит между сторонами $AB$ и $BC$, угол $N$ — между $MN$ и $NK$.","Стороны, образующие угол, пропорциональны, значит, подобие по II признаку."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Даны треугольники $ABC$ и $MNK$: $\\dfrac{AB}{MN} = \\dfrac{BC}{NK} = \\dfrac{1}{2}$ и $\\angle A = \\angle M$. Решавр утверждает: «Подобны по II признаку». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gtgrpld8yblg.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Подобие по сторонам и углу вообще недопустимо","Отношение сторон должно быть равно 1","Угол $A$ лежит не между сторонами $AB$ и $BC$: условие II признака не выполнено","Угол должен быть прямым"],"explanations":["II признак как раз использует две стороны и угол, но именно угол между ними","Для подобия отношение может быть любым, лишь бы оно было одинаковым для обеих пар","","Величина угла не важна: он должен лежать между пропорциональными сторонами"],"answer":[2]}},"hints":["II признак требует равенства угла между пропорциональными сторонами.","Угол $A$ лежит между $AB$ и $AC$, а пропорциональны $AB$ и $BC$ — угол $B$, а не $A$, лежит между ними.","По двум сторонам и углу не между ними подобие не доказать."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В треугольниках $ABC$ и $MNK$ угол $B$ равен углу $N$, $AB = 6$, $MN = 9$, $BC = 10$, а стороны $AB$, $BC$ пропорциональны сторонам $MN$, $NK$. Найдите $NK$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$k = \\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{9}{6} = 1{,}5$.","$NK = BC \\cdot k = 10 \\cdot 1{,}5 = 15$."],"step":1}],"mix":1}

Третий признак: три стороны в одном отношении

Третий способ задать копиру форму — указать все три стороны. По трем сторонам треугольник строится однозначно, это третий признак равенства. Копир лишь умножает каждую из трех сторон на одно и то же число $k$. Например, треугольник со сторонами 4, 7, 9 копир с $k = 3$ превращает в треугольник 12, 21, 27, и другой формы с такими сторонами нет.

Теорема (III признак подобия)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны:

Доказательство

Пусть все три отношения равны $k < 1$ (другие случаи — как в I признаке). Снова отложим на стороне $AB$ отрезок $AD = A_1B_1$ и проведем $DE \parallel BC$. По лемме о параллельной прямой $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $\dfrac{AD}{AB} = k$, поэтому $AE = k \cdot AC = A_1C_1$ и $DE = k \cdot BC = B_1C_1$. Треугольники $ADE$ и $A_1B_1C_1$ равны по трем сторонам (третий признак равенства), значит, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Какую сторону делить на какую? Копир умножает все длины на одно и то же число, поэтому порядок длин сохраняется: наименьшая сторона оригинала переходит в наименьшую сторону копии, средняя — в среднюю, наибольшая — в наибольшую. Стороны обоих треугольников выписывают по возрастанию и делят по порядку. Если хотя бы одно отношение отличается от других, треугольники не подобны.

Ошибка

Стороны треугольника $ABC$: $AB = 4$, $BC = 7$, $AC = 9$. Стороны треугольника $MNK$: $MN = 21$, $NK = 27$, $MK = 12$. Иксератопс делит в порядке записи: $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{21}{4} = 5{,}25$, $\dfrac{NK}{BC} = \dfrac{27}{7} \approx 3{,}86$, $\dfrac{MK}{AC} = \dfrac{12}{9} \approx 1{,}33$ — и отвечает: «Не подобны».

Проверка. Выпишем стороны по возрастанию: 4, 7, 9 и 12, 21, 27. Отношения: $\dfrac{12}{4} = \dfrac{21}{7} = \dfrac{27}{9} = 3$. Треугольники подобны по III признаку.

Где ошибка. Буквы в названиях сторон не говорят, какие стороны сходственны. Сравнивать нужно наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей.

Треугольник со сторонами 4, 7, 9 и повернутый треугольник со сторонами 12, 21, 27: наименьшая со наименьшей, средняя со средней, наибольшая с наибольшей — Стороны одного цвета сходственны: наименьшая с наименьшей, средняя со средней, наибольшая с наибольшей. Все отношения равны 3

Теперь запишем подобие. Сходственные стороны лежат против равных углов: $MK$ и $AB$, $MN$ и $BC$, $NK$ и $AC$. Против стороны $AB$ лежит вершина $C$, против $MK$ — вершина $N$, поэтому $C \to N$. Так же $A \to K$ и $B \to M$. Получаем $\triangle KMN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \dfrac{KM}{AB} = 3$.

priznaki-podobiya-prognoz

{"questions":[{"content":"Стороны треугольника $ABC$: 4, 6, 8. У треугольника $MNK$: $MN = 12$, $NK = 6$, $MK = 9$. Решавр делит по порядку записи: $\\dfrac{12}{4} \\ne \\dfrac{6}{6}$, «не подобны». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно сравнивать разности соседних сторон","Нужно складывать стороны: $4 + 6 + 8 = 18$ и $12 + 6 + 9 = 27$","Нужно сравнивать стороны по величине: $\\dfrac{6}{4} = \\dfrac{9}{6} = \\dfrac{12}{8}$, треугольники подобны","Ошибки нет: порядок записи важен"],"explanations":["Разности не сохраняются при подобии, сохраняются отношения","Сумма сторон — периметр, он не доказывает подобия","","В условии порядок сторон никак не связан с равными углами, сравнивать надо по величине"],"answer":[2]}},"hints":["Сходственные стороны — наименьшая с наименьшей, средняя со средней, наибольшая с наибольшей.","$\\dfrac{6}{4} = \\dfrac{9}{6} = \\dfrac{12}{8} = 1{,}5$ — треугольники подобны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны одного треугольника 4, 6 и 8, другого — 5, 7 и 9. Подобны ли треугольники?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нельзя определить: нет углов","Нет: отношения $\\dfrac{5}{4}$, $\\dfrac{7}{6}$, $\\dfrac{9}{8}$ не равны","Да: каждая сторона второго больше на 1","Да: стороны возрастают в одинаковом порядке"],"explanations":["Три отношения сторон здесь явно разные, это достаточное условие неподобия","","Прибавление одного и того же числа не сохраняет форму, подобие — это умножение сторон на одно число","Порядок возрастания не доказывает подобие: нужны равные отношения"],"answer":[1]}},"hints":["Отношения: $\\dfrac{5}{4} = 1{,}25$, $\\dfrac{7}{6} \\approx 1{,}17$, $\\dfrac{9}{8} = 1{,}125$ — они разные.","Три отношения не равны, значит, треугольники не подобны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Даны треугольники $ABC$ и $MNK$. Сопоставьте данные и вывод. Один вывод лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle A = \\angle M$, $\\angle C = \\angle K$","$\\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{MK}{AC}$, $\\angle A = \\angle M$","$\\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{NK}{BC} = \\dfrac{MK}{AC}$","$\\dfrac{MN}{AB} = \\dfrac{NK}{BC}$, $\\angle A = \\angle M$"],"items":["Подобны по I признаку","Подобны по II признаку","Подобны по III признаку","Данных недостаточно","Треугольники не подобны"]}},"instruction":"Соотнесите данные и вывод","hints":["Определите, что дано в каждом наборе: только углы, угол и две стороны или три стороны.","Во II признаке угол должен лежать между пропорциональными сторонами: угол $A$ лежит между $AB$ и $AC$, но не между $AB$ и $BC$.","Ответ: два угла — I признак; $MN$, $MK$ и угол $A$ — II признак; три отношения — III признак; $MN$, $NK$ и угол $A$ — данных недостаточно; вывод «не подобны» лишний."],"step":1}],"mix":1}

Копия бывает спрятана в чертеже

В задачах подобные треугольники редко нарисованы рядом и одинаково повернутыми. Копию приходится искать, и чаще всего она прячется одним из трех способов.

Отсечена параллельной прямой. Прямая, параллельная стороне, отсекает копию в углу треугольника — это лемма о параллельной прямой.
Повернута на пол-оборота: крест. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, и $AB \parallel CD$. Углы при $O$ равны как вертикальные, а $\angle OAB = \angle ODC$ как накрест лежащие, поэтому $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ по I признаку. Так устроена и трапеция $ABDC$ с основаниями $AB$ и $CD$: диагонали $AD$ и $BC$ отсекают при основаниях подобные треугольники. Поэтому точка пересечения делит каждую диагональ в отношении оснований: $AO : OD = AB : CD$.
Перевернута внутри треугольника: общий угол. Треугольник и его часть имеют общий угол; если нашлась еще одна пара равных углов, они подобны по I признаку.

Параллельные прямые AB и CD, отрезки AD и BC пересекаются в точке O: треугольники OAB и ODC подобны — При $AB \parallel CD$ треугольники $OAB$ и $ODC$ подобны по двум углам: вертикальным при точке $O$ и накрест лежащим

Пример 3

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, $\angle ABD = \angle ACB$, $AB = 8$, $AD = 4$, $BC = 14$. Докажите, что $AB^2 = AD \cdot AC$, и найдите $AC$ и $BD$.

Решение. В треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle ABD = \angle ACB$ по условию. По I признаку $\triangle ABD \sim \triangle ACB$, соответствие $A \to A$, $B \to C$, $D \to B$. Отсюда $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$, то есть $AB^2 = AD \cdot AC$.

Тогда $AC = \dfrac{AB^2}{AD} = \dfrac{64}{4} = 16$. Коэффициент $k = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$, поэтому $BD = \dfrac{1}{2} \cdot 14 = 7$.

Ответ: $AC = 16$, $BD = 7$.

Треугольник ABD на стороне AC треугольника ABC: AB = 8, AD = 4, BC = 14, AC = 16, BD = 7; общий угол A — Угол $A$ общий и $\angle ABD = \angle ACB$: треугольник $ABD$ — перевернутая копия треугольника $ACB$ с $k = \dfrac{1}{2}$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AB \\parallel CD$, $OA = 4$, $OD = 6$, $AB = 10$. Найдите $CD$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w5e46blz9wt9.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$\\angle OAB = \\angle ODC$ как накрест лежащие при $AB \\parallel CD$, $\\angle AOB = \\angle DOC$ как вертикальные.","$\\triangle OAB \\sim \\triangle ODC$, $k = \\dfrac{OD}{OA} = \\dfrac{6}{4} = 1{,}5$.","$CD = AB \\cdot k = 10 \\cdot 1{,}5 = 15$."],"step":1},{"content":"Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причем $AD \\cdot AB = AE \\cdot AC$. Расставьте шаги доказательства того, что $\\angle ADE = \\angle ACB$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разделим обе части равенства на $AC \\cdot AB$: $\\dfrac{AD}{AC} = \\dfrac{AE}{AB}$","Угол $A$ общий и лежит между сторонами $AD$, $AE$ и между сторонами $AC$, $AB$, поэтому по II признаку $\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB$","В записи $\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB$ вершина $D$ стоит на месте вершины $C$, значит, $\\angle ADE = \\angle ACB$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Признаку подобия нужны отношения сторон, а дано равенство произведений: сначала превратите его в пропорцию.","Пропорциональные стороны $AD$, $AE$ и $AC$, $AB$ образуют один и тот же угол $A$ — это II признак.","Ответ: пропорция → подобие по II признаку → равные углы при вершинах $D$ и $C$, стоящих на одинаковых местах."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Ответ на вопрос из начала урока: чтобы доказать подобие треугольников, не нужно проверять все шесть условий определения. Достаточно двух-трех условий — они в таблице. Признаки подобия нужны в задачах на вычисление отрезков и на доказательство, а дальше — для площадей подобных треугольников, теоремы Пифагора, синуса и косинуса острого угла.

Еще примеры и задачи — в уроке «Признаки подобия треугольников».

Часто задаваемые вопросы

Чем признаки подобия отличаются от признаков равенства?

В признаках равенства стороны равны, в признаках подобия — пропорциональны. Признак равенства — частный случай признака подобия с $k = 1$.

Можно ли во II признаке взять любой равный угол?

Нет. Угол должен лежать между пропорциональными сторонами. Если равен угол против одной из этих сторон, по двум сторонам и такому углу может получиться два разных треугольника. Тогда подобие этими данными не доказано: треугольники могут оказаться подобными, а могут и нет.

Можно ли доказывать подобие прямо по определению?

Можно, но придется проверить шесть условий: три пары равных углов и три равных отношения сторон. Признаки сокращают проверку до двух-трех условий.

Награды за урок