ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Признаки подобия треугольников
Мы уже знакомы с понятием подобных треугольников: у них одинаковая форма, а размеры могут различаться. Теперь перед нами стоит более конкретная задача — научиться определять, когда два треугольника действительно являются подобными.
Для этого в геометрии существуют специальные признаки подобия, которые позволяют установить этот факт на основании сравнения углов и сторон.
Первый признак подобия
Из прошлых уроков нам известно, что два треугольника будут подобны, если у них равны все углы. Но в задачах вовсе не требуется проверять сразу три угла. Достаточно убедиться, что два угла одного треугольника равны двум углам другого.
Именно об этом говорит первый признак подобия, который считается самым простым и наиболее распространенным.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Скрыть
Пусть даны треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, имеем:
$\angle C = 180^\circ -(\angle A + \angle B)$,
$\angle C_1 = 180^\circ -(\angle A_1 + \angle B_1)$.
Но $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, значит, $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ все углы равны. Следовательно, треугольники подобны.
Что и требовалось доказать.
Задача
Решавр ростом $1 \ м \ 70 \ см$ стоит на расстоянии $4 \ м \ 50 \ см$ от дерева. Найдите высоту дерева (в метрах), если длина тени Решавра равна $1 \ м \ 50 \ см$.
Решение
Скрыть
Прочертим треугольник по картинке, соответственно условию задачи.
Назовем все точки треугольников буквами и, с геометрической точки зрения, получим такой чертеж:
Рассмотрим треугольники $ABE$ и $ACD$. У них:
- $\angle ABE = \angle ACD = 90^ \circ$, так как человек и дерево стоят относительно земли вертикально.
- $\angle A$ — общий для обоих треугольников.
Следовательно, $ \triangle ABE \sim \triangle ACD $ $ \Rightarrow $ $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{AE}{AD}$.
Переведем длины в сантиметры и подставим:
$$ \dfrac{150}{600} = \dfrac{170}{CD},$$ где $AC = 150 + 450 \ см$.
Выразим $CD$:
$$CD = \dfrac{600 \cdot 170}{150},$$
$$CD = 680 \ см.$$
Ответ в задаче нужно дать в метрах, поэтому $CD = 6,8 \ м$.
Ответ: высота дерева равна $6,8 \ м$.
важно
Вы, наверное, обратили внимание, что в пропорции стоит число $600$, а не $450$. Будьте внимательны, так как это самая распространенная ошибка. Нужно подставлять в пропорцию длину всей стороны большего из подобных треугольников, а не ее часть.
Для этого нужно сложить соответственные отрезки $AB$ и $BC$.
Второй признак подобия
Данный признак подобия созвучен с первым признаком равенства треугольника (по двум сторонам и углу между ними). Только в признаке равенства стороны должны быть равны, а в признаке подобия — пропорциональны.
Что является абсолютно логичным: равные треугольники равны друг другу, а подобные — пропорциональны.
Сформулируем второй признак подобия и докажем его.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Скрыть
Пусть даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых
$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$.
Построим треугольник $A ^\prime B ^\prime C ^\prime$ такой, что $A^\prime B^\prime = AB$, $A^\prime C^\prime = AC$, $\angle A^\prime = \angle A$.
$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime = \triangle ABC$ (по двум сторонам и углу между ними).
Значит, и $\dfrac{A^\prime B^\prime}{A_1B_1} = \dfrac{A^\prime C^\prime}{A_1C_1}$, а $\angle A^\prime = \angle A_1$ $ \Rightarrow $ $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime = \triangle A_1B_1C_1$.
Следовательно, $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Так как $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime = \triangle ABC$, получаем $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.
Задача
В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $D$, а на стороне $AC$ — точка $E$.
Известно, что $AD = 4 \ см$, $AB = 12 \ см$, $AE = 6 \ см$, $AC = 18 \ см$, $BC = 15 \ см$.
Найдите $DE$.
Решение
Скрыть
По условию $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} =\dfrac{4}{12} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$ и угол $A$ — общий, следовательно $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.
Составим пропорцию:
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{3}$.
Для удобства вычислений приравняем первое и последнее отношения:
$\dfrac{DE}{15} = \dfrac{1}{3}$.
Значит, $DE = \dfrac{1}{3} \cdot 15 = 5 \ см$.
Ответ: $DE = 5 \ см$.
Третий признак подобия
Этот признак подобия звучит примерно так же как и третий признак равенства треугольников — по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Как видите, в геометрии все теоремы так или иначе связаны друг с другом. Поэтому очень важно учить их, чтобы следующие запоминались проще: всегда можно провести какую-то аналогию с уже известной теоремой.
Приведем доказательство третьего признака подобия треугольников.
Доказательство
Скрыть
Пусть даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых выполнено:
$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$.
Построим треугольник $A ^\prime B^\prime C^\prime$ такой, что $A^\prime B^\prime = AB$, $A^\prime C ^\prime= AC$, и $\angle A^\prime = \angle A$.
$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime = \triangle ABC$ (по двум сторонам и углу между ними).
Значит, $\dfrac{A^\prime B^\prime}{A_1B_1} = \dfrac{A^\prime C^\prime}{A_1C_1}$ и $ \angle A ^\prime= \angle A = \angle A_1$.
Тогда $\triangle A^\prime B^\prime C ^\prime \sim \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку подобия.
Следовательно, $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime \sim \triangle ABC$.
А так как $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime = \triangle A_1B_1C_1$, получаем:
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.
важно
На практике этот признак в задачах встречается редко — его чаще используют как инструмент в доказательствах.
Это интересно
Считается, что первым применил подобие треугольников на практике Фалес Милетский.
Он измерил высоту пирамиды в Египте, сравнив ее тень с тенью от собственного посоха.
Землемеры Древнего Египта использовали подобие треугольников при разметке полей: они натягивали веревки, образуя подобные фигуры, и по пропорциям находили недоступные расстояния.
Без понятия подобия невозможно было бы строить масштабные чертежи. Еще в античности зодчие пользовались подобием, чтобы переносить размеры зданий с плана на реальную постройку.
Принцип подобия треугольников до сих пор активно используется. В фотограмметрии (измерение по фотографии) вычисляют реальные размеры объектов, строя подобные треугольники между объектом и его изображением.
Даже в современных смартфонах при калибровке камер и линз применяются методы, основанные на подобии: так удается точно передавать перспективу и масштаб на снимках.
Часто задаваемые вопросы
Проверять все сразу неудобно. Признаки позволяют быстрее установить подобие — достаточно выполнить одно из условий.
Потому что сумма углов треугольника всегда $180^\circ$, и если два угла равны, то третий автоматически совпадает.
При равенстве совпадает и форма, и размер. При подобии — только форма, а размеры отличаются.
Самым распространенным считается первый признак подобия — по двум равным углам. Он чаще всего используется в задачах.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти