Признаки подобия треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ углы $A = 40^\\circ$, $B = 75^\\circ$, в треугольнике $MNK$ углы $N = 75^\\circ$, $K = 65^\\circ$. Подобны ли треугольники?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: у второго треугольника один из углов неизвестен","Нельзя определить: неизвестны стороны","Нет: углы $A$ и $K$ не равны","Да, по двум углам: $\\angle A = \\angle M$, $\\angle B = \\angle N$"],"explanations":["Третий угол найдем по сумме $180^\\circ$","Для подобия по двум углам стороны знать не нужно","Равные углы не обязаны стоять на одинаковых местах в записи",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\angle M = 180^\\circ-75^\\circ-65^\\circ = 40^\\circ$, значит, $\\angle A = \\angle M$ и $\\angle B = \\angle N$.","Подобны по двум углам."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $DEF$ углы $D = 35^\\circ$, $F = 80^\\circ$, в треугольнике $PQR$ углы $Q = 65^\\circ$, $R = 80^\\circ$. Подобны ли треугольники?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Да, по двум углам: $\\angle E = \\angle Q$, $\\angle F = \\angle R$","Нет: углы $D$ и $Q$ не равны","Нельзя определить: неизвестны стороны","Нет: у первого треугольника один из углов неизвестен"],"explanations":["","Равные углы не обязаны стоять на одинаковых местах в записи","Для подобия по двум углам стороны знать не нужно","Третий угол найдем по сумме $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["$\\angle E = 180^\\circ-35^\\circ-80^\\circ = 65^\\circ$, значит, $\\angle E = \\angle Q$ и $\\angle F = \\angle R$.","Подобны по двум углам."],"step":1},{"id":"2","content":"Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, $\\angle A = \\angle M$, $\\angle B = \\angle N$, $AB = 10$, $BC = 14$, $MN = 25$. Найдите $NK$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["$k = \\dfrac{25}{10} = 2{,}5$.","$NK = 14 \\cdot 2{,}5 = 35$."],"step":1},{"id":"2","content":"Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, $\\angle A = \\angle M$, $\\angle B = \\angle N$, $AB = 4$, $BC = 7$, $MN = 6$. Найдите $NK$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["10,5","10.5"]}},"hints":["$k = \\dfrac{6}{4} = 1{,}5$.","$NK = 7 \\cdot 1{,}5 = 10{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольниках $ABC$ и $MNK$: $\\dfrac{AB}{MN} = \\dfrac{BC}{NK} = 3$ и $\\angle B = \\angle N$. Подобны ли треугольники?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Да, по II признаку: равные углы лежат между пропорциональными сторонами","Нет: равный угол должен лежать против большей стороны","Да, по I признаку: угол $B$ равен углу $N$","Нет: стороны не равны"],"explanations":["","Угол должен лежать между пропорциональными сторонами; против какой стороны он лежит, не важно","I признаку нужны два равных угла, а здесь равен только один","Стороны должны быть пропорциональны, не равны"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $B$ лежит между $AB$ и $BC$, угол $N$ — между $MN$ и $NK$.","Подобие по II признаку."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольниках $PQR$ и $XYZ$: $\\dfrac{PQ}{XY} = \\dfrac{QR}{YZ} = 1{,}5$ и $\\angle Q = \\angle Y$. Подобны ли треугольники?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Да, по I признаку: угол $Q$ равен углу $Y$","Да, по II признаку: равные углы лежат между пропорциональными сторонами","Нет: стороны не равны","Нет: равный угол должен лежать против большей стороны"],"explanations":["I признаку нужны два равных угла, а здесь равен только один","","Стороны должны быть пропорциональны, не равны","Угол должен лежать между пропорциональными сторонами; против какой стороны он лежит, не важно"],"answer":[1]}},"hints":["Угол $Q$ лежит между $PQ$ и $QR$, угол $Y$ — между $XY$ и $YZ$.","Подобие по II признаку."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AB \\parallel CD$, $OB = 6$, $OC = 9$, $AB = 8$. Найдите $CD$. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w5e46blz9wt9.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$\\triangle OAB \\sim \\triangle ODC$, $B \\to C$, $k = \\dfrac{OC}{OB} = \\dfrac{9}{6} = 1{,}5$.","$CD = 8 \\cdot 1{,}5 = 12$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AB \\parallel CD$, $OB = 4$, $OC = 10$, $AB = 6$. Найдите $CD$. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w5e46blz9wt9.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$\\triangle OAB \\sim \\triangle ODC$, $B \\to C$, $k = \\dfrac{OC}{OB} = \\dfrac{10}{4} = 2{,}5$.","$CD = 6 \\cdot 2{,}5 = 15$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$, диагонали пересекаются в точке $O$. Какое подобие верно?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yjkkay2n0pld.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$","$\\triangle ABC \\sim \\triangle ADC$","$\\triangle AOB \\sim \\triangle DOC$","$\\triangle BOC \\sim \\triangle AOD$"],"explanations":["","Эти треугольники не подобны: общий только отрезок $AC$","Эти треугольники в общем случае не подобны: равны только вертикальные углы","Тогда $B$ соответствует $A$, но равны углы $B$ и $D$"],"answer":[0]}},"hints":["$BC \\parallel AD$: $\\angle CBO = \\angle ODA$ — накрест лежащие при секущей $BD$; $\\angle BOC = \\angle DOA$ вертикальные.","Соответствие $B \\to D$, $C \\to A$: $\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]В трапеции $KLMN$ основания $KN$ и $LM$, диагонали пересекаются в точке $P$. Какое подобие верно?[[choice-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e9ohrg1oluuy.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\triangle LPM \\sim \\triangle KPN$","$\\triangle LPM \\sim \\triangle NPK$","$\\triangle KLM \\sim \\triangle KNM$","$\\triangle KPL \\sim \\triangle NPM$"],"explanations":["Тогда $L$ соответствует $K$, но равны углы $L$ и $N$","","Эти треугольники не подобны: общей у них только сторона $KM$","В общем случае не подобны: равны только вертикальные углы"],"answer":[1]}},"hints":["$LM \\parallel KN$: $\\angle MLP = \\angle PNK$ — накрест лежащие при секущей $LN$; вертикальные углы при $P$ равны.","Соответствие $L \\to N$, $M \\to K$: $\\triangle LPM \\sim \\triangle NPK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-5]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 16$ и $BC = 6$, диагонали пересекаются в точке $O$, $AC = 33$. Найдите $AO$. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yjkkay2n0pld.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$, $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC} = \\dfrac{16}{6}$.","$AO = AC \\cdot \\dfrac{16}{16 + 6} = 33 \\cdot \\dfrac{16}{22} = 24$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-6]]В трапеции $ABCD$ основания $AD = 18$ и $BC = 12$, диагонали пересекаются в точке $O$, $BD = 20$. Найдите $DO$. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yjkkay2n0pld.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$, $\\dfrac{DO}{OB} = \\dfrac{AD}{BC} = \\dfrac{18}{12}$.","$DO = BD \\cdot \\dfrac{18}{18 + 12} = 20 \\cdot \\dfrac{18}{30} = 12$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Даны $\\triangle ABC$ и $\\triangle KLM$: $\\dfrac{BC}{LM} = \\dfrac{AC}{KM} = 3$ и $\\angle A = \\angle K$. Решавр: «Подобны по II признаку». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Отношение сторон должно быть 1","Угол должен быть острым","Ошибки нет: две стороны пропорциональны и угол равен — это II признак","Равный угол $A$ лежит не между сторонами $BC$ и $AC$"],"explanations":["Отношение может быть любым, лишь бы одинаковым","Вид угла не важен, он должен лежать между пропорциональными сторонами","Равный угол $A$ лежит против $BC$, а не между пропорциональными сторонами $BC$ и $AC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Пропорциональны стороны $BC$ и $AC$; между ними лежит угол $C$.","Угол $A$ лежит против $BC$, значит, не между пропорциональными сторонами."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Даны $\\triangle XYZ$ и $\\triangle DEF$: $\\dfrac{XY}{DE} = \\dfrac{YZ}{EF} = 1{,}5$ и $\\angle X = \\angle D$. Решавр: «Подобны по II признаку». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Равный угол $X$ лежит не между сторонами $XY$ и $YZ$","Угол должен быть острым","Ошибки нет: две стороны пропорциональны и угол равен — это II признак","Отношение сторон должно быть 1"],"explanations":["","Вид угла не важен, он должен лежать между пропорциональными сторонами","Равный угол $X$ лежит против $YZ$, а не между пропорциональными сторонами $XY$ и $YZ$","Отношение может быть любым, лишь бы одинаковым"],"answer":[0]}},"hints":["Пропорциональны стороны $XY$ и $YZ$; между ними лежит угол $Y$.","Угол $X$ лежит не между этими сторонами."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны треугольника $ABC$: $AB = 7$, $BC = 8$, $AC = 5$. Стороны треугольника $KLM$: $KL = 10$, $LM = 14$, $KM = 16$. Решавр делит в порядке записи: $\\dfrac{KL}{AB} = \\dfrac{10}{7}$, $\\dfrac{LM}{BC} = \\dfrac{14}{8}$ — и отвечает: «Не подобны». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Нужно сравнить периметры: $20 \\ne 40$, поэтому треугольники не подобны","Ошибки нет: отношения $\\dfrac{10}{7}$ и $\\dfrac{14}{8}$ разные, треугольники не подобны","Стороны надо сравнивать по величине: $\\dfrac{10}{5} = \\dfrac{14}{7} = \\dfrac{16}{8} = 2$, треугольники подобны","Нужно сравнивать разности сторон: $10-7 \\ne 14-8$, поэтому не подобны"],"explanations":["Периметры подобных треугольников не обязаны быть равными: они относятся как $k$, здесь $40 : 20 = 2$","Буквы в названиях сторон не указывают сходственные стороны; по возрастанию 5, 7, 8 и 10, 14, 16 все отношения равны 2","","При подобии сохраняются отношения сторон, а не их разности"],"answer":[2]}},"hints":["Сходственные стороны определяются не буквами, а величиной: наименьшая с наименьшей, средняя со средней, наибольшая с наибольшей.","По возрастанию: 5, 7, 8 и 10, 14, 16. Отношения $\\dfrac{10}{5} = \\dfrac{14}{7} = \\dfrac{16}{8} = 2$ — треугольники подобны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны треугольника $DEF$: $DE = 9$, $EF = 11$, $DF = 4$. Стороны треугольника $PQR$: $PQ = 22$, $QR = 8$, $PR = 18$. Решавр делит в порядке записи: $\\dfrac{PQ}{DE} = \\dfrac{22}{9}$, $\\dfrac{QR}{EF} = \\dfrac{8}{11}$ — и отвечает: «Не подобны». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: отношения $\\dfrac{22}{9}$ и $\\dfrac{8}{11}$ разные, треугольники не подобны","Нужно сравнить периметры: $24 \\ne 48$, поэтому треугольники не подобны","Нужно сравнивать разности сторон: $22-9 \\ne 8-11$, поэтому не подобны","Стороны надо сравнивать по величине: $\\dfrac{8}{4} = \\dfrac{18}{9} = \\dfrac{22}{11} = 2$, треугольники подобны"],"explanations":["Буквы в названиях сторон не указывают сходственные стороны; по возрастанию 4, 9, 11 и 8, 18, 22 все отношения равны 2","Периметры подобных треугольников не обязаны быть равными: они относятся как $k$, здесь $48 : 24 = 2$","При подобии сохраняются отношения сторон, а не их разности",""],"answer":[3]}},"hints":["Сходственные стороны определяются не буквами, а величиной: наименьшая с наименьшей, средняя со средней, наибольшая с наибольшей.","По возрастанию: 4, 9, 11 и 8, 18, 22. Отношения $\\dfrac{8}{4} = \\dfrac{18}{9} = \\dfrac{22}{11} = 2$ — треугольники подобны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Даны треугольники $ABC$ и $MNK$. Сопоставьте данные и вывод. Один вывод лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle A = 52^\\circ$, $\\angle B = 71^\\circ$, $\\angle M = 52^\\circ$, $\\angle K = 57^\\circ$","$AB = 3$, $AC = 5$, $MN = 6$, $MK = 10$, $\\angle A = \\angle M$","$AB = 4$, $BC = 5$, $AC = 7$, $MN = 8$, $NK = 10$, $MK = 14$","$AB = 7$, $BC = 5$, $MN = 21$, $NK = 15$, $\\angle A = \\angle M$"],"items":["Подобны по I признаку","Подобны по II признаку","Подобны по III признаку","Данных недостаточно","Треугольники не подобны"]}},"instruction":"Соотнесите данные и вывод","hints":["В первом наборе найдите третий угол: $\\angle C = 180^\\circ-52^\\circ-71^\\circ = 57^\\circ = \\angle K$.","Во II признаке угол должен лежать между пропорциональными сторонами: угол $A$ лежит между $AB$ и $AC$, но не между $AB$ и $BC$.","Ответ: углы — I признак; $AB$, $AC$ и угол $A$ — II признак ($\\dfrac{6}{3} = \\dfrac{10}{5}$); три стороны — III признак ($\\dfrac{8}{4} = \\dfrac{10}{5} = \\dfrac{14}{7}$); $AB$, $BC$ и угол $A$ — данных недостаточно; «не подобны» лишний."],"step":1},{"id":"9","content":"Даны треугольники $DEF$ и $PQR$. Сопоставьте данные и вывод. Один вывод лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\angle D = 35^\\circ$, $\\angle E = 100^\\circ$, $\\angle P = 35^\\circ$, $\\angle R = 45^\\circ$","$DE = 4$, $DF = 6$, $PQ = 6$, $PR = 9$, $\\angle D = \\angle P$","$DE = 5$, $EF = 6$, $DF = 9$, $PQ = 10$, $QR = 12$, $PR = 18$","$DE = 5$, $EF = 4$, $PQ = 20$, $QR = 16$, $\\angle D = \\angle P$"],"items":["Подобны по I признаку","Подобны по II признаку","Подобны по III признаку","Данных недостаточно","Треугольники не подобны"]}},"instruction":"Соотнесите данные и вывод","hints":["В первом наборе найдите третий угол: $\\angle F = 180^\\circ-35^\\circ-100^\\circ = 45^\\circ = \\angle R$.","Во II признаке угол должен лежать между пропорциональными сторонами: угол $D$ лежит между $DE$ и $DF$, но не между $DE$ и $EF$.","Ответ: углы — I признак; $DE$, $DF$ и угол $D$ — II признак ($\\dfrac{6}{4} = \\dfrac{9}{6}$); три стороны — III признак ($\\dfrac{10}{5} = \\dfrac{12}{6} = \\dfrac{18}{9}$); $DE$, $EF$ и угол $D$ — данных недостаточно; «не подобны» лишний."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-7]]В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Расставьте шаги доказательства того, что $AO \\cdot BO = CO \\cdot DO$.[[sorter-1]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yjkkay2n0pld.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\angle OBC = \\angle ODA$ как накрест лежащие при $BC \\parallel AD$ и секущей $BD$, а $\\angle BOC = \\angle DOA$ как вертикальные","Тогда $\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$ по двум углам","Значит, сходственные стороны пропорциональны: $\\dfrac{BO}{DO} = \\dfrac{CO}{AO}$","Тогда по свойству пропорции $AO \\cdot BO = CO \\cdot DO$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Равенство произведений получают из пропорции, а пропорцию — из подобных треугольников. Начните с равных углов.","Равные углы дают подобие $\\triangle BOC \\sim \\triangle DOA$, подобие — пропорцию, пропорция — произведения.","Ответ: равные углы → подобие → пропорция $\\dfrac{BO}{DO} = \\dfrac{CO}{AO}$ → $AO \\cdot BO = CO \\cdot DO$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-8]]Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $AB \\parallel CD$. Расставьте шаги доказательства того, что $OA \\cdot OC = OB \\cdot OD$.[[sorter-2]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w5e46blz9wt9.svg"},"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$\\angle OAB = \\angle ODC$ как накрест лежащие при $AB \\parallel CD$ и секущей $AD$, а $\\angle AOB = \\angle DOC$ как вертикальные","Тогда $\\triangle OAB \\sim \\triangle ODC$ по двум углам","Значит, сходственные стороны пропорциональны: $\\dfrac{OA}{OD} = \\dfrac{OB}{OC}$","Тогда по свойству пропорции $OA \\cdot OC = OB \\cdot OD$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Равенство произведений получают из пропорции, а пропорцию — из подобных треугольников. Начните с равных углов.","Равные углы дают подобие $\\triangle OAB \\sim \\triangle ODC$, подобие — пропорцию, пропорция — произведения.","Ответ: равные углы → подобие → пропорция $\\dfrac{OA}{OD} = \\dfrac{OB}{OC}$ → $OA \\cdot OC = OB \\cdot OD$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>