Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника — полезный геометрический «инструмент», позволяющий оценивать составляющие треугольника. Скажем, к примеру, что вам известно следующее соотношение между углами треугольника $\bigtriangleup{ABC}$: $$\angle{C}>\angle{A}>\angle{B}$$ Хватит ли этого соотношения между углами, чтобы что-то заключить о сторонах $\bigtriangleup{ABC}$? Странно… но да. Теорема о соотношениях между сторонами и углами позволяет делать «прыжок» от углов к сторонам, и наоборот. Сегодня мы обсудим, какие соотношения между углами и сторонами существуют и как этим можно пользоваться.

Соотношение «против большей стороны лежит больший угол»

Здесь и далее вы столкнетесь с математическим символами неравенства — «больше» $(>)$ и «меньше» $(<)$. Вспомнить, как используются знаки неравенства, можно здесь.

Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$, в котором известно, что сторона $AB$ больше стороны $AC$. Теперь присмотримся к противолежащим сторонам углам — углам $\angle{C}$ и $\angle{B}$ соответственно. Какой из углов визуально кажется бóльшим? Даже без применения транспортира очевидно, что: $$\angle{C}>\angle{B}$$

Докажем, что подобное соотношение между сторонами и углами треугольника работает универсально для любого треугольника:

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Доказательство

Пусть в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ известно неравенство сторон $AB>AC$. Отложим на большей стороне $AB$ отрезок $AC_1$ так, что $AC_1=AC$. В полученном треугольнике $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ отметим углы $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$. Поскольку в $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ стороны $AC_1$ и $AC$ равны, заключаем, что $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ — равнобедренный треугольник, где $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$.

Рассмотрим $\angle{\alpha}$. Он является внешним углом треугольника $\bigtriangleup{C_{1}BC}$. По теореме о внешнем угле треугольника известно, что внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Следовательно, внешний угол всегда по величине больше любого не смежного с ним внутреннего угла. Тогда $\angle{\alpha}>\angle{B}$.

Рассмотрим $\angle{\beta}$. Он является частью угла $C$, ведь через любые две точки можно провести прямую. В данном случае — прямую, на которой расположен отрезок $CC_1$. Раз $\angle{\beta}$ — часть $\angle{C}$, можно заключить, что $\angle{C}>\angle{\beta}$. Если $\angle{C}>\angle{\beta}$ и $\angle{\alpha}>\angle{B}$, при условии, что $\angle{\alpha}=\angle{\beta}$, то очевидно, что $\angle{C}>\angle{B}$. Против большей стороны $AB$ лежит больший угол $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника заключается в том, что против <i>большей</i> стороны лежит  [[input-1]] угол. <br />[[speech-15]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"больший"},"speech-15":{"type":"speech","text":"Впишите недостающее слово."}}}]}

Теорема о соотношениях между сторонами и углами: последний пункт доказательства

$$\begin{cases}\angle{\alpha}=\angle{\beta} \\ \angle{B}<\angle{\alpha} \\ \angle{C}>\angle{\beta}\end{cases}$$

И $\angle{B}$, и $\angle{C}$ сравниваются с одной и той же величиной, ведь величина углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$ равная. Угол $\angle{B}$ меньше некоторой величины, а угол $\angle{C}$ больше относительной той же самой величины. Конечно $\angle{C}$ будет больше $\angle{B}$. Даже еще проще: попробуйте подставить вместо $\angle{\alpha}$ любое значение. Тогда финальный штрих доказательства мгновенно станет понятен.

Соотношение «против большего угла лежит бóльшая сторона»

Выше мы доказали соотношения между сторонами и углами треугольника с позиции «от сторон к углам». Имеет смысл проверить, работают ли соотношения в обратную сторону. Иными словами, если задано некоторое неравенство углов, какой вывод можно сделать о соответствующих сторонах? Будет ли выше доказанная теорема справедлива как для сторон, так и для углов?

Сформулируем обратную теорему и докажем ее:

Обратная теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Против большего угла треугольника лежит бóльшая сторона.

Доказательство

Пусть в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ известно неравенство углов $\angle{C}>\angle{B}$ (также на чертеже: $\angle{\beta}>\angle{\alpha}$). Воспользуемся методом от противного и предположим, что неравенство $AB>AC$ неверно. Раз сторона $AB$ не больше стороны $AC$, возможно следующее:

• либо $AB=AC$;
• либо $AB<AC$, то есть сторона $AB$ меньше.

Если $AB=AC$, то $\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный, следовательно $\angle{C}=\angle{B}$, что противоречит заданным условиям. Если $AB<AC$, тогда согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника против большей стороны лежит больший угол и $\angle{B}>\angle{C}$, что тоже противоречит заданным условиям. Из этого следует, что неравенство $AB>AC$ верно. Против большего угла лежит бóльшая сторона. Что и требовалось доказать.  

{"questions":[{"content":"В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ угол $\\angle{A}$ больше $\\angle{B}$. Какая из сторон треугольника будет <i><b>меньшей</b></i> — $BC$ или $AC$?  [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$BC$","$AC$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если $\\angle{B}<\\angle{A}$, то сторона, противолежащая углу $\\angle{B}$, будет меньшей.","Это сторона $AC$."]}]}

Пример использования теоремы

Итого, теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника сообщает: если есть пара сторон, в которой по значению одна сторона больше, то против большей стороны будет лежать больший по величине угол. Против меньшей — меньший. Ровно то же самое работает с парами углов. Если один из углов в паре больше, то сторона против большего угла больше. Против меньшего — меньше.    

А теперь, вооружившись новыми знаниями, вернемся к задачке из введения в урок, с треугольником $\bigtriangleup{ABC}$, про который известно, что $\angle{C}>\angle{A}>\angle{B}$. Как будет выглядеть неравенство сторон для треугольника $\bigtriangleup{ABC}$?

Перед тем, как дать ответ, загляните сюда!

Скрыть текст

{"questions":[{"content":"Только для интереса переименуем треугольник из $\\bigtriangleup{ABC}$ в $\\bigtriangleup{RGH}$. Как будет выглядеть неравенство сторон для треугольника $\\bigtriangleup{RGH}$, если известно, что $\\angle{R}>\\angle{G}>\\angle{H}$? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$GH>RH>RG$","$HG>RG>RH$","$RG>GH>RH$"],"answer":[0]}}}]}