Измерение отрезков

Штангенциркуль, линейка, рулетка. Все эти предметы являют собой измерительные инструменты, позволяющие проводить измерение отрезков.

В данном уроке мы узнаем, как правильно пользоваться различными измерительными инструментами, какие данные мы можем получить и где их применять.

Предмет измерений

Прежде чем что-либо измерять, необходимо определиться с тем, что такое мера. Измерить можно длину стола, напряжение в электрической цепи, погодные условия на Южном полюсе, количество сахара в лимонадах.

Иными словами, измерить можно все что угодно. Значит, один из первостепенных критериев определения меры — предмет измерений, то есть непосредственно тот объект, который будет поддаваться оценке.

Отрезок как предмет измерений

Прямая и луч бесконечны, и измерить их не представляется возможным. Из простых линейных (одномерных) фигур геометрии в качестве предмета измерения может выступать только отрезок.

Вспомним, что отрезок отличается от луча тем, что имеет не только точку начала, но и точку конца. Расстояние, заключенное между этими точками, называется длиной. Аксиома о том, чему равна длина отрезка, гласит следующее:

$A_6$. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

{
    "questions": [{
        "content": "<script src='https://unpkg.com/@lottiefiles/lottie-player@latest/dist/lottie-player.js'></script><br /><lottie-player src='https://assets1.lottiefiles.com/packages/lf20_2orpnjcf.json' background='transparent' speed='1' style='max-width: 50%;height: auto;' loop='' autoplay=''></lottie-player>Длина отрезка — величина, отличная от нуля. Внимательно ли вы запомнили содержание аксиомы? Может ли отрезок иметь <b><i>отрицательную величину</i></b>?[[choice-1]]",
        "widgets": {
            "choice-1": {
                "type": "choice",
                "options": ["Да.", "Нет."],
                "explanations": ["", "Часть аксиомы про «длину, большую нуля» очень самопоясняющая. Но давайте немного порассуждаем. Ранее мы говорили о том, что отрезок, как и прямая, не имеет направления. Отрезок $AB$ также можно обозначить и как $BA$. Следовательно, важно лишь то, что заключено между точками. А между ними согласно аксиоме всегда что-то заключено. <br /><br />Поэтому значение длины отрезка — величина положительная. Например, в физике, когда величина принимает отрицательное значение, это может являться характеристикой направления. В курсе геометрии в старшей школе с направлениями мы еще столкнемся, но к отрезкам значения меньше нуля отношения никакого не имеют."],
                "answer": [1]
            }
        }
    }]
}

Единица измерения

Расшифруем: чтобы определить, чему равна длина отрезка, требуется обозначить единицу измерения и ее эталон. Сравнивая отрезок с эталоном, мы будем получать количественную величину, выраженную в выбранных единицах измерения.

Эталон — это образец, воспроизводящий единицу измерения с наибольшей точностью.

Цилиндр из платино-иридиевого сплава — до 2018 года эталон килограмма.

Его сместил более точный подход к измерению массы, основанный на расчете энергии по постоянной Планка.

Зачем в измерениях эталоны?

Скрыть

{"questions":[{"content":"Почему нельзя использовать для измерения массы предметов яблоки?[[choice-1]][[image-2]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Яблоко не может быть эталоном.","Яблоко удобно носить с собой.","Яблоки растут не во всех регионах."],"explanations":["Яблоки могут быть разного размера и веса. Одно большое яблоко нельзя приравнять к нескольким маленьким, что создает путаницу при подсчетах.<br />Именно поэтому в современной системе измерений используются стандартизированные единицы, а не конкретные предметы.","",""],"answer":[0]},"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/yabloko-derevo-derevya-yablonya.svg","width":"300"}}}]}

Метрическая система

За единицу измерения длины в СИ принят метр.

Эталон метра — это длина пути, который проходит свет в вакууме за интервал времени $\frac{1}{c}$ долю секунды, где $c$ — скорость света, равная $299~792~458~м/с$.

К 1982 году, когда погрешность в измерении скорости света достигла минимума, был утвержден окончательный эталон метра на основе $\frac{1}{c}$ секунды.

Представьте, как вдруг в палатах мер и весов всего мира по некоторым странным обстоятельствам исчезают оригинал и копии эталона метра. Пришлось бы перемеривать меридиан Земли. Но что, если еще к тому же Земля сожмется в размерах?

Точность — вежливость королей, а скорость света остается постоянной. Эксперимент с вакуумом легко воспроизвести в лабораторных условиях, чтобы, в случае чего, восстановить значение метра.

{"questions":[{"content":"Что принято за современный эталон измерения длины?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["путь, проходимый светом в вакууме за $\\frac{1}{299~792~458}$ секунды","$\\frac{1}{40~000~000}$ длины Парижского меридиана","длина платиноиридиевого стержня"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Это позволяет достичь точности измерений до миллиардной доли метра.<br />Два перечисленных измерения использовались раньше."}]}

Измерение отрезков в метрической системе

Метр — это примерно полтора шага. Для предметов, нас окружающих, это большая единица измерения. В геометрии часто приходится проводить как раз именно измерение небольших отрезков.

Измерять в метрах, чему равна длина небольших отрезков, было бы неоправданно сложно. Для удобства расчетов и измерений в науке принят принцип кратных и дольных единиц.

Приведем наиболее для нас необходимые:

Принцип прост: добавляя приставку «деци», «санти» или «милли», вы уменьшаете метр на $10^{1}$, $10^{2}$ или $10^{3}$ единиц соответственно. Дольные единицы также можно переводить меж собой.

Измерение отрезков мы не проводим — пока только приводим значения к стандарту. Выразим для начала длины отрезков $AB,~DC,~JK$ в метрах.

1. Перевод в метры. По таблице имеем, что $1~см=1~м \cdot \frac{1}{100}$. Значит, чтобы выразить длину отрезка $AB$ в метрах, нам достаточно разделить указанное значение в сантиметрах на $100$. Аналогично для отрезков $DC$ и $JK$, только деление будем проводить на $1000$ и $10$ соответственно. Считаем:

$$AB=12:100=0,12~м\\DC=9:1000=0,009~м\\JK=7:10=0,7~м$$

2. Перевод в миллиметры. Отрезок $JK$ равен $7~дм$. Чтобы получить значение в миллиметрах, величину нужно умножить на $100$. Имеем: $$JK=7 \cdot 100=700~мм$$

Если сложно переводить величины

Скрыть

{"questions":[{"content":"[[speech-1]][[fill_choice_big-28]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Переведите по схеме «уравнение» значения отрезок $AB=19~см$ в метры."},"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$0,19$","$0,019$","$1,9$","$190$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"calc":1,"hints":["По таблице: $1~см=\\frac{1}{100}~м$.","И еще одно равенство: $1~мм=\\frac{1}{1000}~м$.","Умножайте обе части равенства, чтобы получить ответ."]}]}

{"questions":[{"content":"[[speech-100]][[fill_choice_big-111]]","widgets":{"speech-100":{"type":"speech","text":"Выразите значение отрезка $AB=14~м$ в сантиметрах и дециметрах."},"fill_choice_big-111":{"type":"fill_choice_big","options":["$1400~см$ и $140~дм$","$140~см$ и $14~дм$","$140~см$ и $1400~дм$","$1400~см$ и $1,4~дм$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

{"questions":[{"content":"[[speech-1]][[fill_choice_big-165]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Помогите! Отрезок $AB$ замерил в дециметрах, а нужны сантиметры. $AB=18,1~дм$."},"fill_choice_big-165":{"type":"fill_choice_big","options":["$181~см$","$18,1~см$","$1,81~см$","$1810~см$"],"placeholder":0,"answer":0}},"calc":1}]}

{"questions":[{"content":"Выразите измерения в метрах.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$103~см$","$13~см$","$1300~мм$","$103~дм$"],"items":["$1,03~м$","$0,13~м$","$1,3~м$","$10,3~м$"]}}}]}

Измерение отрезков: измерительные инструменты

После того, как были заданы предметные и количественные характеристики, нам остается лишь определить на основе эталона измерительные инструменты, которые бы фиксировали, чему равна длина отрезка.

Подытоживая, можно сказать, что составляющие всякого измерения — это неизменно:

• предмет измерения;
• единица измерения;
• измерительные инструменты.

{"questions":[{"content":"Попробуйте корректно расположить пары объектов в измерительном опыте, где требуется определить, насколько тяжелым является физический предмет.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Масса","Килограмм","Весы"],"items":["Предмет измерения","Единица измерения","Измерительный инструмент"]}}}]}

Сумма длин частей

Измерительные инструменты длины многообразны. Школьный курс геометрии обходится обычной линейкой с сантиметровой шкалой.

Устройство инструментов, позволяющих измерить длины отрезков, нехитрое и напрямую связано с аксиомой о сумме длин частей отрезка:

$A_7$. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Рассмотрим линейку как единую систему отрезков. На нулевой отметке расположим точку $A$, конец линейки обозначим точкой $O$.

Каждую сантиметровую отметку инструмента — $1$, $2$, $3$ … $14$ — также обозначим отдельными точками. По аксиоме о сумме длин частей про длину отрезка $AO$ можно заключить:

$$AO=AB+BC+CD+~…~+NO$$

Чтобы измерить длины отрезков точнее, на шкалу сантиметровой линейки наносят еще одну шкалу ближайшей дольной единицы — миллиметровую. Сантиметр состоит из десяти миллиметров, и все деления миллиметра — $1$, $2$ … $9$ — можно представлять в виде дополнительной точки.

Измерительные инструменты становятся точнее за счет того, что внутри каждого сантиметрового отрезка содержится десять миллиметровых.   

{"questions":[{"content":"Вообразавру случайно в руки попала огромная метровая линейка. Определите цену деления ее дополнительной шкалы и выразите ответ в сантиметрах.[[image-1]]<br />Цена деления — разность двух ближайших отметок шкалы. <br /><br />Дополнительная цена деления рассчитывается по формуле: $\\frac{x-y}{q}$, где $x$ и $y$ — значения двух ближайших отметок основной шкалы, $q$ — количество промежутков дополнительной шкалы, заключенных между ними.[[fill_choice_big-218]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/linei-ka-2.svg"},"speech-5":{"type":"speech","text":"Цена деления — разность двух ближайших отметок шкалы. <br /><br />Дополнительная цена деления рассчитывается по формуле: $\\frac{x-y}{q}$, где $x$ и $y$ — значения двух ближайших отметок основной шкалы, $q$ — количество промежутков дополнительной шкалы, заключенных между ними."},"fill_choice_big-218":{"type":"fill_choice_big","options":["$10~см$","$1~см$","$5~см$","$0,1~см$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Цена деления основной шкалы равна одному метру. Между двумя точками основной шкалы находится $10$ промежутков.","Цена деления дополнительной шкалы по формуле: $$\\frac{2-1}{10}=\\frac{1}{10}~м$$","Известно, что $1~м=10~дм$. При делении обеих частей на $10$: $$\\frac{1}{10}~м=1~дм$$","Получается, что цена дополнительной шкалы, выраженная в дециметрах, равна одному дециметру.  В одном дециметре — десять сантиметров. Значит, цена деления дополнительной шкалы в сантиметрах — $10~см$"]}]}

Как пользоваться линейкой, чтобы измерить длины отрезков

Разберем, как пользоваться линейкой, чтобы измерить длины отрезков. Измерим длину отрезка $AB$.

Для этого начало отрезка совместим с нулевой отметкой. Линейка должна при этом располагаться строго параллельно отрезку. Точка конца отрезка будет указывать на значение длины отрезка. В нашем примере длина отрезка $AB$ равняется $9$ сантиметрам и $5$ миллиметрам:$$AB=9,5~см$$

Отрезок $AB$ состоит из $9$ сантиметровых отрезков и $5$ миллиметровых. Длина отрезка выражается в единицах измерения согласно цене деления основной шкалы. В нашем случае — в сантиметрах. Миллиметры указываются как дольная часть сантиметра.

{"questions":[{"content":"Образавр решил замерить свой рост сантиметровым метром.[[image-1]]<br />Его верхний гребешок переходит отметку $145~см$, но совсем немного не доходит до отметки $146~см$. Какое значение лучше всего принять за результат измерения? [[fill_choice_big-288]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/height.svg"},"fill_choice_big-288":{"type":"fill_choice_big","options":["$145~см$","$146~см$","$150~см$","$140~см$"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Результат измерения отрезков нужно округлять ближе к истинному значению. До ста сорока шести сантиметров Образавр пока не дорос."}]}

Часто задаваемые вопросы