Луч в геометрии
Начертим на плоскости прямую $a$ и точку $A\in{a}$. По определению прямая — это множество точек, и точка $A$ разбивает прямую $a$ на два отличных друг от друга множества точек. Ровно так же, как это делает прямая по отношению к плоскости, разделяя последнюю на две полуплоскости. В данном уроке мы предметнее исследуем идею разбиения прямой и в результате определим новую фигуру — луч в геометрии.
Примечание к уроку. В некоторых учебных пособиях и задачах луч также встречается под названием «полупрямая». Хоть этот термин и гораздо последовательнее отражает разбиение прямых, здесь и далее мы будем придерживаться современного толкования понятий. Полупрямая — это луч. Луч — это полупрямая. На всякий случай запомните, что это одно и то же.
Луч в геометрии: определение
Игрушечный лазер в темноте. Пучок света, проходящий через небольшое отверстие. Или то, как в иллюстрациях к сказкам изображают солнышко. Все эти явления можно описать одним словом — луч.
И вновь различия…
Практика предыдущих уроков показала: сравнения между геометрией и повседневностью стоит проводить осторожно. Мы привычно смотрим на луч как на нечто, что берет начало в некоторой точке и движется в направлении другой точки. Луч в геометрии кое-чем сильно отличается. Прежде всего тем, что понятие луча абстрактно, поскольку его определение как фигуры базируется на прямой.
Давайте разберем, каким образом абстракция в виде прямой переносит ряд своих свойств на луч в геометрии. Рассмотрим еще раз чертеж с прямой $a$ и точкой $A\in{a}$.
Дополнительно отметим точки $B$, $C$ и $D$, все принадлежащие прямой $a$. Точки $B$ и $C$ располагаются по одну сторону от точки $A$, точка $D$ принадлежит другой стороне. Часть прямой, которая разбивается точкой $A$ и состоит из множества точек, включающее в том числе точки $B$ и $C$, — это луч.
Определим луч в геометрии:
Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и множества точек, лежащих по одну сторону от данной точки.
Чем отличается луч от прямой?
Полуплоскость есть часть плоскости. Деление плоскости на полуплоскости выполняется прямой. Проведем параллель: луч в геометрии есть часть прямой; деление прямой на лучи выполняется точкой. Чем отличается луч от прямой? Луч в геометрии частично ограничен, если сравнивать его с прямой.
В то время как прямая простирается от бесконечности до бесконечности, луч «стартует» в некоторой точке и простирается до бесконечности.
| Прямая в геометрии | Луч в геометрии | Отрезок в геометрии |
| Множество точек | Множество точек части прямой | Множество точек прямой, заключенных между двумя точками |
| Бесконечна | Имеет точку начала и не имеет точки конца | Имеет точку начала и точку конца |
| Не имеет строгой направленности | Имеет направленность | Не имеет строгой направленности |
Как обозначаются лучи?
Точка, разбивающая прямую на два луча, называется начальной точкой. Ее используют в качестве обозначения луча. К примеру, отметим на прямой $c$ точку $D$. Часть прямой $c$, направленную стрелкой, можно обозначить как луч $D$ — строчной латинской буквой согласно точке, являющейся для луча начальной.
Когда говорят «луч $D$», какая часть луча имеется в виду — слева от точки или справа?
Вопросом, как обозначаются лучи с учетом направления, нам не пришлось задаваться, ведь мы определили направление с помощью чертежа. Чтобы избежать путаницы в том, как обозначаются лучи, иногда используется две точки: начальная и еще одна точка, направляющая, принадлежащая определяемому лучу.
Рассмотрим следующий пример: дана прямая $a$, точки $A$ и $B$. Так, луч $A$ также можно обозначить как луч $AB$.
📚 Это интересно: как обозначаются лучи не у нас
В зарубежной литературе прямая и производные из нее фигуры задаются на опоре двух точек и специальных над-символов: «—», «$\rightarrow$» и «$\leftrightarrow$». Этот способ удобен тем, что не нужно по тексту доказательства или решения задачи постоянно определять словом, что имеется в виду под условным $AB$ — луч $AB$ или же отрезок $AB$.
Удобно ли? Удобно! Однако пока такой формат нотации не получил широкого распространения в нашей учебной литературе. Знать, по крайней мере, полезно, ибо встретиться подобное может где угодно. В самых неожиданных местах.
Дополнительные лучи
И все-таки точка делит прямую на два луча — два отдельных друг от друга множества точек. При этом мы, задавая луч в геометрии, как бы делаем упор только на одно из этих возможных множеств. Второе множество точек тоже является важной сопутствующей фигурой и называется дополнительным лучом.
Дополнительный луч — это луч, лежащий на одной прямой с некоторым лучом и имеющий с ним общую начальную точку, но противоположные направления.
Рассмотрим, как дополнительные лучи выглядят на чертеже. Возьмем прямую $a$ и зададим на ней луч $AB$. Чтобы построить к лучу $AB$ дополнительный луч, достаточно отметить точку в противоположном направлении. Итого, луч $AC$ будет являться дополнительным к лучу $AB$. Объединяя оба луча — основной и дополнительный, — мы вновь получаем бесконечную прямую, которой принадлежат лучи.
Нечто вроде формулы: лучи + дополнительные лучи = прямые.
Луч в геометрии — выбор направляющей точки
Отдельно отметим, что выбор направляющей точки, определяющий лучи или дополнительные лучи, может быть произвольным. Добавим на чертеж выше точки $F$ и $G$ и подумаем: в чем отличие между лучами $AB$ и $AF$? Отличаются ли тогда соответствующие дополнительные лучи?
Нет. Выбор направляющей точки условен, поэтому между лучами $AB$ и $AF$ можно установить равенство $AB=AF$. Равные линейные фигуры называются совпадающими.
Важнейшая точка луча — начальная точка, и если точка начала совпадает для двух лучей, то они представляют собой равные множества точек. Данный вывод распространяется также и на дополнительные лучи.
Дадим определение:
Совпадающие лучи — лучи, не являющиеся дополнительными друг к другу и лежащие на одной прямой, при этом имеющие общую начальную точку.
Задача. Дан отрезок $AB$ на прямой $a$. Известно, что точка $C\in{AB}$. Среди лучей $AB$, $AC$, $CA$, $CB$ определите парами совпадающие лучи и дополнительные лучи.
Трудности? Здесь решение!
Скрыть решение
Решение. Из заданных условий видно, что лучи имеют в качестве начальной точки либо точку $A$, либо точку $C$. Рассмотрим вначале лучи $AB$ и $AC$ с общей начальной точкой $A$. Раз $C\in{AB}$, точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$. Поэтому делаем вывод, что точки $B$ и $C$ являются направляющими для одного и того же луча. Лучи $AB$ и $AC$ совпадающие.
Теперь рассмотрим пару лучей с начальной точкой $C$ — лучи $CA$ и $CB$. По аксиоме взаимного расположения точек известно, что из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, и, следовательно, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $C$. Если у лучей $CA$ и $CB$ общая начальная точка, а направляющие располагаются по разные стороны от общей точки, то они будут дополнительными.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти