Тест: 1.2

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Выберите данные, через которые проходит ровно одна плоскость.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямая $AB$ и точка $M$ — середина $AB$","Две точки $A$ и $C_1$","Три точки $A$, $O$, $C$, где $O$ — середина $AC$","Прямая $AB$ и точка $D_1$"],"explanations":["Точка лежит на прямой, поэтому плоскостей бесконечно много","Двух точек мало, плоскостей бесконечно много","Три точки на одной прямой — плоскостей бесконечно много",""],"answer":[3]}},"hints":["Единственность дают: три точки не на прямой, прямая и точка вне ее, две пересекающиеся или параллельные прямые.","Проверьте, лежит ли точка на прямой.","Ответ: Прямая $AB$ и точка $D_1$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Выберите данные, через которые проходит ровно одна плоскость.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Прямая $CC_1$ и точка $C_1$","Две точки $B$ и $D_1$","Прямая $CC_1$ и точка $A$","Три точки $B$, $O$, $D$, где $O$ — середина $BD$"],"explanations":["Точка лежит на прямой, плоскостей бесконечно много","Двух точек мало, плоскостей бесконечно много","","Три точки на одной прямой — плоскостей бесконечно много"],"answer":[2]}},"hints":["Единственность дают: три точки не на прямой, прямая и точка вне ее, две пересекающиеся или параллельные прямые.","Проверьте, лежит ли точка на прямой.","Ответ: Прямая $CC_1$ и точка $A$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Ребра $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны. Какая плоскость проходит через обе прямые?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$(AA_1B)$","$(AA_1C)$","$(A_1B_1C)$","$(ABC)$"],"explanations":["Плоскость $(AA_1B)$ не содержит все четыре конца ребер","","Плоскость $(A_1B_1C)$ не содержит все четыре конца ребер","Плоскость $(ABC)$ не содержит все четыре конца ребер"],"answer":[1]}},"hints":["Две параллельные прямые задают единственную плоскость.","Она содержит все четыре конца ребер.","Ответ: $(AA_1C)$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Ребра $BB_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны. Какая плоскость проходит через обе прямые?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$(BB_1A)$","$(BB_1D)$","$(BCD_1)$","$(ABD)$"],"explanations":["Плоскость $(BB_1A)$ не содержит все четыре конца ребер","","Плоскость $(BCD_1)$ не содержит все четыре конца ребер","Плоскость $(ABD)$ не содержит все четыре конца ребер"],"answer":[1]}},"hints":["Две параллельные прямые задают единственную плоскость.","Она содержит все четыре конца ребер.","Ответ: $(BB_1D)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Допустим, что точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой, а через них проходят две различные плоскости $\\alpha$ и $\\beta$. Тогда обе плоскости проходят через три точки, не лежащие на одной прямой. Единственность плоскости через такие точки непосредственно утверждает [[fill_choice-1]]: плоскости совпадают — противоречие.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":[["А2",""],["теорема 3",""],["определение параллельных прямых",""],"А1"],"answer":3}},"hints":["Какое из утверждений относится именно к трем точкам, не лежащим на одной прямой?","Единственность плоскости через три точки не на прямой — это А1."],"step":1},{"id":"3","content":"Допустим, что прямая $a$ и точка $M$ вне нее задают две различные плоскости $\\alpha$ и $\\beta$; на $a$ отметили различные точки $A$ и $B$. Тогда обе плоскости проходят через три точки, не лежащие на одной прямой. Единственность плоскости через такие точки непосредственно утверждает [[fill_choice-2]]: плоскости совпадают — противоречие.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":[["А2",""],["теорема 3",""],["определение параллельных прямых",""],"А1"],"answer":3}},"hints":["Какое из утверждений относится именно к трем точкам, не лежащим на одной прямой?","Единственность плоскости через три точки не на прямой — это А1."],"step":1},{"id":"4","content":"Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Распределите пары ребер (как прямых) по их расположению.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Пересекаются","Параллельны","Не пересекаются и не параллельны"],"items":[["$AB$ и $AD$","$CC_1$ и $C_1D_1$"],["$AB$ и $D_1C_1$","$AA_1$ и $BB_1$"],["$AB$ и $CC_1$","$A_1D_1$ и $BB_1$"]]}},"hints":["Проверьте, есть ли у прямых общая точка. Если нет, проверьте, лежат ли они в одной плоскости.","Пересекаются: $AB$ и $AD$; $CC_1$ и $C_1D_1$. Параллельны: $AB$ и $D_1C_1$; $AA_1$ и $BB_1$. Не лежат в одной плоскости: $AB$ и $CC_1$; $A_1D_1$ и $BB_1$."],"step":1},{"id":"4","content":"Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Распределите пары ребер (как прямых) по их расположению.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Пересекаются","Параллельны","Не пересекаются и не параллельны"],"items":[["$BC$ и $BB_1$","$A_1D_1$ и $DD_1$"],["$AD$ и $B_1C_1$","$CC_1$ и $DD_1$"],["$AA_1$ и $BC$","$A_1B_1$ и $DD_1$"]]}},"hints":["Проверьте, есть ли у прямых общая точка. Если нет, проверьте, лежат ли они в одной плоскости.","Пересекаются: $BC$ и $BB_1$; $A_1D_1$ и $DD_1$. Параллельны: $AD$ и $B_1C_1$; $CC_1$ и $DD_1$. Не лежат в одной плоскости: $AA_1$ и $BC$; $A_1B_1$ и $DD_1$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-5]]Для каждой пары ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, которую они задают.[[matcher-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямые $AB$ и $BC$","Прямые $AD$ и $AA_1$","Прямые $AB$ и $A_1B_1$"],"items":["$(ABC)$","$(ADD_1)$","$(ABB_1)$","$(A_1BD)$"]}},"instruction":"Сопоставьте пару ребер и плоскость","hints":["Найдите все концы двух ребер: плоскость проходит через них.","Ответ: Прямые $AB$ и $BC$ — $(ABC)$; Прямые $AD$ и $AA_1$ — $(ADD_1)$; Прямые $AB$ и $A_1B_1$ — $(ABB_1)$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-6]]Для каждой пары ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, которую они задают.[[matcher-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$","Прямые $CD$ и $CC_1$","Прямые $BC$ и $A_1D_1$"],"items":["$(A_1B_1C_1)$","$(CDD_1)$","$(BCA_1)$","$(A_1CD)$"]}},"instruction":"Сопоставьте пару ребер и плоскость","hints":["Найдите все концы двух ребер: плоскость проходит через них.","Ответ: Прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ — $(A_1B_1C_1)$; Прямые $CD$ и $CC_1$ — $(CDD_1)$; Прямые $BC$ и $A_1D_1$ — $(BCA_1)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Из вершины $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выходят три ребра: $AB$, $AD$, $AA_1$. Сколько различных плоскостей задают пары этих ребер? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Любые два из этих ребер пересекаются в $A$ и по теореме 2 задают плоскость.","Пар три: $AB$ и $AD$, $AB$ и $AA_1$, $AD$ и $AA_1$; плоскости различны, так как три ребра не лежат в одной плоскости.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Из вершины $C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выходят три ребра: $C_1B_1$, $C_1D_1$, $C_1C$. Сколько различных плоскостей задают пары этих ребер? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Любые два из этих ребер пересекаются в $C_1$ и по теореме 2 задают плоскость.","Пар три: $C_1B_1$ и $C_1D_1$, $C_1B_1$ и $C_1C$, $C_1D_1$ и $C_1C$; плоскости различны, так как три ребра не лежат в одной плоскости.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"7","content":"Расставьте шаги доказательства: через две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Пусть $a \\cap b = O$; отметим точку $A \\neq O$ на $a$ и точку $B \\neq O$ на $b$","Тогда точки $A$, $O$, $B$ не лежат на одной прямой, иначе прямые $a$ и $b$ совпали бы","Значит, по А1 через $A$, $O$, $B$ проходит единственная плоскость $\\alpha$","Точки $A$, $O$ и $O$, $B$ лежат в $\\alpha$, поэтому по А2 прямые $a$ и $b$ лежат в $\\alpha$","Значит, $\\alpha$ содержит обе прямые, и любая плоскость через них содержит $A$, $O$, $B$, то есть совпадает с $\\alpha$"]}},"hints":["Выберем по точке на каждой прямой и применим А1."]},{"id":"7","content":"Расставьте шаги доказательства: через две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ проходит единственная плоскость.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Пусть $m \\cap n = P$; отметим точку $X \\neq P$ на $m$ и точку $Y \\neq P$ на $n$","Тогда точки $X$, $P$, $Y$ не лежат на одной прямой, иначе прямые $m$ и $n$ совпали бы","Значит, по А1 через $X$, $P$, $Y$ проходит единственная плоскость $\\gamma$","Точки $X$, $P$ и $P$, $Y$ лежат в $\\gamma$, поэтому по А2 прямые $m$ и $n$ лежат в $\\gamma$","Значит, $\\gamma$ содержит обе прямые, и любая плоскость через них содержит $X$, $P$, $Y$, то есть совпадает с $\\gamma$"]}},"hints":["Выберем по точке на каждой прямой и применим А1."]},{"id":"8","content":"Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, точка $M$ лежит на прямой $b$. Сколько плоскостей проходит через прямую $a$ и точку $M$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Всегда одна","Если $M \\ne O$, то одна; если $M = O$, то бесконечно много","Если $M \\ne O$, то ни одной; если $M = O$, то одна","Всегда бесконечно много"],"explanations":["При $M = O$ точка лежит на прямой $a$, и теорема 1 неприменима","","Плоскость через прямую и точку вне ее существует; при $M = O$ плоскостей много","При $M \\ne O$ точка лежит вне прямой $a$ (иначе у прямых было бы две общие точки), и плоскость единственна"],"answer":[1]}},"hints":["Выясните, при каком положении точки $M$ на прямой $b$ она лежит на прямой $a$.","Если $M \\notin a$, применима теорема 1; если $M \\in a$, точка ничего не добавляет к прямой.","Ответ: при $M \\ne O$ одна плоскость, при $M = O$ бесконечно много."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $P$, точка $X$ лежит на прямой $n$. Сколько плоскостей проходит через прямую $m$ и точку $X$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Если $X \\ne P$, то ни одной; если $X = P$, то одна","Если $X \\ne P$, то одна; если $X = P$, то бесконечно много","Всегда одна","Всегда бесконечно много"],"explanations":["Плоскость через прямую и точку вне ее существует; при $X = P$ плоскостей много","","При $X = P$ точка лежит на прямой $m$, и теорема 1 неприменима","При $X \\ne P$ точка лежит вне прямой $m$ (иначе у прямых было бы две общие точки), и плоскость единственна"],"answer":[1]}},"hints":["Выясните, при каком положении точки $X$ на прямой $n$ она лежит на прямой $m$.","Если $X \\notin m$, применима теорема 1; если $X \\in m$, точка ничего не добавляет к прямой.","Ответ: при $X \\ne P$ одна плоскость, при $X = P$ бесконечно много."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскость проходит через вершины $A$, $B_1$, $D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сколько вершин куба лежит в этой плоскости? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Точки $A$, $B_1$, $D_1$ — концы диагоналей трех граней, они не лежат на одной прямой.","Исключим вершины по граням. В грани $ABB_1A_1$ плоскость дает прямую $AB_1$, на ней нет $B$ и $A_1$; в грани $ADD_1A_1$ — прямую $AD_1$ (нет $D$); в верхней грани — прямую $B_1D_1$ (нет $C_1$).","Если бы $C$ лежала в плоскости, в ней были бы $A$, $C$ и середина $P$ отрезка $B_1D_1$. Точка $P$ лежит и на $A_1C_1$, поэтому это была бы плоскость $(AA_1C_1C)$, а она пересекает верхнюю грань по $A_1C_1$, где нет $B_1$ — противоречие.","Ответ: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскость проходит через вершины $B$, $A_1$, $C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сколько вершин куба лежит в этой плоскости? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Точки $B$, $A_1$, $C_1$ — концы диагоналей трех граней, они не лежат на одной прямой.","Исключим остальные вершины по граням. В грани $ABB_1A_1$ плоскость дает прямую $BA_1$, на ней нет $A$ и $B_1$; в грани $BCC_1B_1$ — прямую $BC_1$ (нет $C$); в верхней грани — прямую $A_1C_1$ (нет $D_1$).","Если бы $D$ лежала в плоскости, в ней были бы $B$, $D$ и середина $Q$ отрезка $A_1C_1$. Точка $Q$ лежит и на $B_1D_1$, поэтому это была бы плоскость $(BB_1D_1D)$, а она пересекает верхнюю грань по $B_1D_1$, где нет $A_1$ — противоречие.","Ответ: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-7]]Решавр рассуждает: «Ребра $AA_1$ и $BC$ куба не пересекаются. Значит, они параллельны и через них проходит плоскость». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: параллельны любые непересекающиеся прямые","Прямые, не имеющие общих точек, не обязательно параллельны","Ребра куба вообще не лежат в одной плоскости","Ошибка: плоскость через две прямые проходит только по А1"],"explanations":["В планиметрии так и есть, в пространстве нет","","Ребра одной грани лежат в одной плоскости; вывод неверен лишь для этой пары","А1 не про прямые; здесь неверно «значит, параллельны»"],"answer":[1]}},"hints":["Выпишите оба условия определения параллельных прямых. Какое из них проверил Решавр?","Непересекающиеся прямые в пространстве не обязаны быть параллельными.","Прямые $AA_1$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны — через них нельзя провести плоскость.","Ответ: вывод «значит, параллельны» неверен."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-8]]Решавр рассуждает: «Ребра $CC_1$ и $AB$ куба не пересекаются. Значит, они параллельны и через них проходит плоскость». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vftejrmgrlvi.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Ребра куба вообще не лежат в одной плоскости","Прямые, не имеющие общих точек, не обязательно параллельны","Ошибка: плоскость через две прямые проходит только по А1","Ошибки нет: параллельны любые непересекающиеся прямые"],"explanations":["Ребра одной грани лежат в одной плоскости; вывод неверен лишь для этой пары","","А1 не про прямые; здесь неверно «значит, параллельны»","В планиметрии так и есть, в пространстве нет"],"answer":[1]}},"hints":["Выпишите оба условия определения параллельных прямых. Какое из них проверил Решавр?","Непересекающиеся прямые в пространстве не обязаны быть параллельными.","Прямые $CC_1$ и $AB$ не пересекаются и не параллельны — через них нельзя провести плоскость.","Ответ: вывод «значит, параллельны» неверен."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>