Тест: 1.1

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ — середина ребра $BB_1$. Иксератопс обозначил плоскость грани $ABB_1A_1$ как $(BMB_1)$ и рассуждает: «Три точки задают плоскость, поэтому такое обозначение однозначно». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет","Не выполнено условие А1: точки лежат на одной прямой","Плоскость проходит через две из трех точек, но не через все","Через три точки вообще не проходит плоскость"],"explanations":["Условие А1 проверять нужно: три точки на прямой не задают плоскость однозначно","","Через прямую с тремя точками проходит бесконечно много плоскостей, и каждая содержит все три","Плоскость есть всегда, вопрос в ее единственности"],"answer":[1]}},"hints":["Отметьте на ребре $BB_1$ точку $M$ и посмотрите, как $B$, $M$, $B_1$ расположены друг относительно друга.","Середина ребра лежит на самом ребре, поэтому все три точки на одной прямой.","Ответ: не выполнено условие «не на одной прямой»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O$ — центр грани $ABCD$. Иксератопс обозначил плоскость этой грани $(AOC)$ и рассуждает: «Три точки задают плоскость, поэтому такое обозначение однозначно». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Плоскость проходит через две из трех точек, но не через все","Ошибки нет","Не выполнено условие А1: точки лежат на одной прямой","Через три точки вообще не проходит плоскость"],"explanations":["Через прямую с тремя точками проходит бесконечно много плоскостей, и каждая содержит все три","Условие А1 проверять нужно: три точки на прямой не задают плоскость однозначно","","Плоскость есть всегда, вопрос в ее единственности"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, как расположены точки $A$, $O$, $C$ друг относительно друга.","Центр квадрата лежит на его диагонали $AC$, поэтому все три точки на одной прямой.","Ответ: не выполнено условие «не на одной прямой»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$, $N$, $K$ — середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$, точка $O$ — середина $AC$, $S$ — середина $AC_1$, $L$ — середина $AA_1$. Выберите тройку точек, через которую проходит ровно одна плоскость.[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$A, L, A_1$","$A, O, C$","$A, S, C_1$","$M, N, K$"],"explanations":["Точки лежат на ребре $AA_1$","Точки $A$, $O$, $C$ лежат на диагонали грани: прямая, плоскостей много","Точки лежат на диагонали куба",""],"answer":[3]}},"hints":["Плоскость единственна, если точки не лежат на одной прямой.","Проверьте, какие тройки лежат на ребре или диагонали.","Ответ: $M, N, K$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $L$, $O$, $S$, $Q$ — середины отрезков $AA_1$, $AC$, $AC_1$, $BD$. Выберите тройку точек, через которую проходит ровно одна плоскость.[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$B, Q, D$","$A_1, L, A$","$A, S, C_1$","$L, O, C_1$"],"explanations":["Точки лежат на диагонали основания","Точки лежат на ребре $AA_1$","Точки лежат на диагонали куба",""],"answer":[3]}},"hints":["Плоскость единственна, если точки не лежат на одной прямой.","Проверьте, какие тройки лежат на ребре или диагонали.","Ответ: $L, O, C_1$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]Точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $K$ — середина $CC_1$. Какая из прямых лежит в плоскости $(ABC)$?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$MK$","$KB_1$","$NK$","$MN$"],"explanations":["Точка $K$ лежит на ребре $CC_1$ выше основания, значит, прямая $MK$ в плоскости $(ABC)$ не лежит","Обе точки выше основания, поэтому прямая $KB_1$ в нем не лежит","Точка $K$ не лежит в плоскости основания",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямая лежит в плоскости, если в ней лежат две ее точки (А2).","Проверьте обе точки каждой прямой: лежит ли каждая из них в нижней грани куба; середина вертикального ребра находится выше основания.","Ответ: прямая $MN$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Точки $P$ и $Q$ — середины ребер $AD$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $T$ — середина $AA_1$. Какая из прямых лежит в плоскости $(ABC)$?[[choice-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$QT$","$PT$","$TA_1$","$PQ$"],"explanations":["Точка $T$ не лежит в плоскости основания","Точка $T$ — середина $AA_1$, она выше основания; прямая $PT$ в плоскости $(ABC)$ не лежит","Обе точки на ребре $AA_1$, а оно не лежит в основании",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямая лежит в плоскости, если в ней лежат две ее точки (А2).","Проверьте обе точки каждой прямой: лежит ли каждая из них в нижней грани куба; середина вертикального ребра находится выше основания.","Ответ: прямая $PQ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-5]]По какой прямой пересекаются плоскости $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?[[choice-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$B_1C_1$","$BB_1$","$AB$","$BC$"],"explanations":["Прямая $B_1C_1$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является","","Прямая $AB$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является","Прямая $BC$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является"],"answer":[1]}},"hints":["Отметьте вершины первой грани. Какие из них принадлежат также второй? Найдите две разные общие точки.","Две общие точки граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — $B$ и $B_1$; по А3 общая прямая проходит через них.","Ответ: $BB_1$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]По какой прямой пересекаются плоскости $(CDD_1)$ и $(ADD_1)$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?[[choice-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$D_1C_1$","$AD$","$CD$","$DD_1$"],"explanations":["Прямая $D_1C_1$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является","Прямая $AD$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является","Прямая $CD$ лежит только в одной из двух плоскостей, а общей прямой не является",""],"answer":[3]}},"hints":["Отметьте вершины первой грани. Какие из них принадлежат также второй? Найдите две разные общие точки.","Две общие точки граней $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$ — $D$ и $D_1$; по А3 общая прямая проходит через них.","Ответ: $DD_1$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-7]]Плоскости $(ABC)$ и $(ABC_1)$ различны и имеют общую точку. Сколько у них общих точек на самом деле?[[choice-9]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Ровно две","Ровно одна","Бесконечно много","Ровно три"],"explanations":["Если есть две общие точки, то по А2 общая вся прямая через них","Одной общей точки быть не может: по А3 есть общая прямая","","Все общие точки лежат на одной прямой, на ней их бесконечно много; ровно трех быть не может"],"answer":[2]}},"hints":["По А3 две плоскости с общей точкой имеют общую прямую.","Все общие точки лежат на этой прямой.","Ответ: бесконечно много."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]Иксератопс отметил на рисунке одну общую точку $D$ и заявил, что она единственная. Плоскости $(ADD_1)$ и $(CDD_1)$ различны и имеют общую точку. Сколько у них общих точек на самом деле?[[choice-10]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["Ровно одна","Бесконечно много","Ровно две","Ровно три"],"explanations":["Одной общей точки быть не может: по А3 есть общая прямая","","Если есть две общие точки, то по А2 общая вся прямая через них","Все общие точки лежат на одной прямой, на ней их бесконечно много; ровно трех быть не может"],"answer":[1]}},"hints":["По А3 две плоскости с общей точкой имеют общую прямую.","Все общие точки лежат на этой прямой.","Ответ: бесконечно много."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-9]]Выберите четверку вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, лежащих в одной плоскости.[[choice-11]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-11":{"type":"choice","options":["$A, B, C, C_1$","$A, B, C, D$","$A, B, B_1, D$","$A_1, B_1, C_1, A$"],"explanations":["Три вершины $A, B, C$ задают плоскость грани $ABCD$, а четвертая вершина $C_1$ в ней не лежит","","Три вершины $A, B, B_1$ задают плоскость грани $ABB_1A_1$, а четвертая вершина $D$ в ней не лежит","Три вершины $A_1, B_1, C_1$ задают плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$, а четвертая вершина $A$ в ней не лежит"],"answer":[1]}},"hints":["Для каждой четверки выделите три вершины одной грани: они задают плоскость этой грани (А1).","Проверьте, лежит ли четвертая вершина в этой плоскости.","Ответ: $A, B, C, D$ — вершины одной грани, они лежат в одной плоскости."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-10]]Выберите четверку вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, лежащих в одной плоскости.[[choice-12]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zq5cpxra6y7v.svg"},"choice-12":{"type":"choice","options":["$A, D, D_1, B_1$","$A, B, B_1, A_1$","$A, B, B_1, C$","$B, C, C_1, A$"],"explanations":["Три вершины $A, D, D_1$ задают плоскость грани $ADD_1A_1$, а четвертая вершина $B_1$ в ней не лежит","","Три вершины $A, B, B_1$ задают плоскость грани $ABB_1A_1$, а четвертая вершина $C$ в ней не лежит","Три вершины $B, C, C_1$ задают плоскость грани $BCC_1B_1$, а четвертая вершина $A$ в ней не лежит"],"answer":[1]}},"hints":["Для каждой четверки выделите три вершины одной грани: они задают плоскость этой грани (А1).","Проверьте, лежит ли четвертая вершина в этой плоскости.","Ответ: $A, B, B_1, A_1$ — вершины одной грани, они лежат в одной плоскости."],"step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ — середина ребра $AB$, точка $N$ — середина ребра $AD$. Сколько плоскостей проходит через все четыре точки $M$, $N$, $B$, $D$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Найдите три из четырех точек, не лежащие на одной прямой, и плоскость через них.","Проверьте, лежит ли четвертая точка в этой плоскости: все четыре точки принадлежат нижней грани.","Ответ: $1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ — середина ребра $AB$, точка $N$ — середина ребра $AD$. Сколько плоскостей проходит через все четыре точки $M$, $N$, $B$, $D_1$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Найдите три из четырех точек, не лежащие на одной прямой, и плоскость через них.","Точки $M$, $B$ задают прямую $AB$, вместе с $N$ они дают плоскость нижней грани; проверьте, лежит ли в ней $D_1$.","Ответ: $0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Дана плоскость $\\alpha$, точка $A$ и прямая $l$, лежащая в $\\alpha$ и проходящая через $A$. Какая запись неверна?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$A \\in l$","$A \\subset \\alpha$","$A \\in \\alpha$","$l \\subset \\alpha$"],"explanations":["Эта запись верна для точки на прямой","","Эта запись верна для точки и плоскости","Эта запись верна для прямой в плоскости"],"answer":[1]}},"hints":["Точка принадлежит плоскости — $\\in$, прямая лежит в плоскости — $\\subset$.","Неверна запись, в которой знаки перепутаны."],"step":1},{"id":"8","content":"Даны плоскости $\\alpha$, $\\beta$, точка $M$ и прямая $c$. Прямая $c$ — линия пересечения плоскостей, точка $M$ лежит на прямой $c$. Какая запись неверна?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$\\alpha \\cap \\beta = c$","$M \\subset c$","$c \\subset \\alpha$","$M \\in c$"],"explanations":["Эта запись верна: так обозначают пересечение","","Эта запись верна: линия пересечения лежит в $\\alpha$","Эта запись верна для точки на прямой"],"answer":[1]}},"hints":["Линия пересечения лежит в обеих плоскостях: $c \\subset \\alpha$, $c \\subset \\beta$.","Точка принадлежит прямой знаком $\\in$, а не $\\subset$."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите наблюдения по тому, какая аксиома их объясняет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["А1 (три точки)","А2 (прямая в плоскости)","А3 (две плоскости)"],"items":[["Штатив на трех опорах стоит устойчиво","Три точки опоры, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость столешницы"],["Две различные точки прямого края линейки лежат в плоскости стекла, поэтому весь этот край лежит в той же плоскости, даже если выступает за границы стекла","Туго натянутая нить, два конца которой лежат в плоскости стола, целиком лежит в этой плоскости"],["Соседние стены комнаты встречаются по вертикальной линии","Раскрытая книга: страницы встречаются по корешку"]]}},"hints":["А1 — про три точки и плоскость; А2 — про прямую, две точки которой лежат в плоскости; А3 — про общую прямую двух плоскостей.","А1: штатив с тремя опорами. А2: линейка у плоскости стола. А3: стены комнаты."],"step":1},{"id":"9","content":"Распределите наблюдения по тому, какая аксиома их объясняет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["А1 (три точки)","А2 (прямая в плоскости)","А3 (две плоскости)"],"items":[["Фотоаппарат на треноге не качается","Три точки касания листа со столом, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость листа"],["Прямой край рейки, две точки которого лежат в плоскости стены, лежит в этой плоскости целиком","Туго натянутая нить, оба конца которой лежат в плоскости стекла, целиком лежит в этой плоскости"],["Пол и стена встречаются по линии плинтуса","Лист бумаги, согнутый пополам, образует линию сгиба"]]}},"hints":["А1 — про три точки и плоскость; А2 — про прямую, две точки которой лежат в плоскости; А3 — про общую прямую двух плоскостей.","А1: треножник. А2: рейка на стене. А3: пол и стена."],"step":1},{"id":"10","content":"Для каждого набора точек укажите, сколько плоскостей через него проходит.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Вершины $A$, $B$, $C$ куба","Вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ куба","Точки $A$, $C$ и середина $AC$"],"items":["Ровно одна","Ни одной","Бесконечно много","Ровно две"]}},"instruction":"Сопоставьте набор и число плоскостей","hints":["Проверьте, лежат ли точки на одной прямой, и если нет, то лежит ли четвертая в плоскости первых трех.","Ответ: Вершины $A$, $B$, $C$ куба — Ровно одна; Вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ куба — Ни одной; Точки $A$, $C$ и середина $AC$ — Бесконечно много."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Для каждого набора точек укажите, сколько плоскостей через него проходит.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Точки $A$, $A_1$ и середина $AA_1$","Вершины $A$, $B$, $C$, $D$ куба","Вершины $A$, $B$, $D$, $C_1$ куба"],"items":["Бесконечно много","Ровно одна","Ни одной","Ровно две"]}},"instruction":"Сопоставьте набор и число плоскостей","hints":["Проверьте, лежат ли точки на одной прямой, и если нет, то лежит ли четвертая в плоскости первых трех.","Ответ: Точки $A$, $A_1$ и середина $AA_1$ — Бесконечно много; Вершины $A$, $B$, $C$, $D$ куба — Ровно одна; Вершины $A$, $B$, $D$, $C_1$ куба — Ни одной."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>